Puissance d'un point par rapport à un cercle

[Lapprenti]

Bonjour,
j'ai des difficultés sur l'exercice 131 ( image)

1. a
Dans le cas où M est à l'intérieur du cercle T, comment savoir le sens de MCxMD et donc du signe ?

Je suis totalement perdu rien que sur la première question, je ne sais pas comment y procéder

[chan79]

salut
Utilise la définition du produit scalaire

[Lapprenti]

1.a
M à l'extérieur : MC x MD = MC x MD x cos 0 et donc le résultat est positif vu que MC et MD sont dans le même sens.

M appartenant à T : soit M un point du cercle T, sur le triangle MCD,

K est le projeté de D sur [ MC ] ( image 2) et MC et MK sont dans le même sens
MC x MD = MK x MC donc résultat positif

M à l'intérieur de T : Si M est sur le segment [CD] alors
MC x MD = MC x MD x cos Pii et donc résultat négatif

C'est juste mon raisonnement ?

[Lapprenti]

b. MC x MD = OM²- R²

Comment je peux démontrer ça sans valeur ? même en m'aidant des définitions des produits scalaires je ne vois pas la solution

[chan79]

b. MC x MD = OM²- R²

Comment je peux démontrer ça sans valeur ? même en m'aidant des définitions des produits scalaires je ne vois pas la solution

salut
Tu as deux triangles semblables
Tu montres que MC.MD=MA.MB
ensuite
MA=OM-R
MB=OM+R

[Lapprenti]

Ah, mais pour ma part je suis parti dans le triangle OMD.
OD= OE = OF= OC ( points sur le cercle créés et sur la même ligne que O )

MC x MD= ( MO + OC ) x ( MO + OD )
= MO² + MO x OD + OC x MO + OC x OD
= MO² - OM x OD - OC x OM + OC x OD
= MO² - OM x OE x cos pii - OF x OM x cos 0+ OExOF
= OM²+ OE x OF x cos pii
= OM² - R²
C'est juste ?

[Lapprenti]

Je n'ai rien compris à la question 2 ni à la 3..

[Ben314]

Salut,

Ah, mais pour ma part je suis parti dans le triangle OMD.
OD= OE = OF= OC ( points sur le cercle créés et sur la même ligne que O )
MC x MD= ( MO + OC ) x ( MO + OD )
= MO² + MO x OD + OC x MO + OC x OD
= MO² - OM x OD - OC x OM + OC x OD
= MO² - OM x OE x cos pii - OF x OM x cos 0+ OExOF
= OM²+ OE x OF x cos pii
= OM² - R²
C'est juste ?

Je sais pas si "c'est juste" ou pas vu que... je comprend rien à ce que tu raconte en particulier du fait que je vois franchement pas qui sont les points E et F : faudrait quand même un minimum que tu te relise pour prendre conscience que "être sur la même ligne qu'un point", ça risque pas de vouloir dire quoi que ce soit.
En regardant la suite, j'ai tenté de comprendre qui pouvaient bien être ces fameux points, en regardant où est-ce que tu les utilises, à savoir pour écrire que mais je vois pas d'où ça sort ton truc...

Sinon, LA méthode plus que classique dans un cas pareil, c'est effectivement d'introduire un point de façon à écrire . Développe ce produit scalaire puis regarde avec quel ton expression se simplifierais un max. (et ce n'est pas avec )

[Lapprenti]

Je viens de me relire, et oui, ça ne veut rien dire mon calcul à certaines étapes.

Je clarifie : Dans le triangle imaginé OMD
MC x MD = ( MO + OC ) x ( MO + OD ) d'après la relation de Chasles
= MO² + MO x OD + OC x MO+ OC x OD
= MO² - OM x OD - OC x OM + OC x OD ( là, je ne change rien )

= MO² - OM x OE ( car OD = OE) - OF( car OC = OF ) x OM + OE x OF
= MO²(je laisse comme ça car je ne sais pas comment faire vecteur MO x MO en produits scalaires)- OM x OE x cos pii ( voir image, là j'fais intervenir les produits ) - OF x OM x cos 0( voir image) + OE x OF x cos pii

= OM² - R² car OE = OF = R et donc OE x OF = R²
Vous m'expliquerez pourquoi on ne peut pas prendre X = O
Là, j'ai clarifié ce que j'avais fait. Ne pas tenir compte du calcul sur l'image, il est faux.

[Ben314]

Je clarifie : Dans le triangle imaginé OMD
MC x MD = ( MO + OC ) x ( MO + OD ) d'après la relation de Chasles
= MO² + MO x OD + OC x MO+ OC x OD
= MO² - OM x OD - OC x OM + OC x OD ( là, je ne change rien )
= MO² - OM x OE ( car OD = OE) - OF( car OC = OF ) x OM + OE x OF
= MO²(je laisse comme ça car je ne sais pas comment faire vecteur MO x MO en produits scalaires)- OM x OE x cos pii ( voir image, là j'fais intervenir les produits ) - OF x OM x cos 0( voir image) + OE x OF x cos pii

= OM² - R² car OE = OF = R et donc OE x OF = R²
Vous m'expliquerez pourquoi on ne peut pas prendre X = O
Là, j'ai clarifié ce que j'avais fait.

a) Je comprend toujours rien à qui sont les points E et F.
b1) Que tu veuille pas te mettre au MimeTeX (donc pas de flèches sur les vecteurs) + que tu note par un x à la fois les produits scalaires (de vecteurs) les produits usuels (de réels) rend évidement ta prose passablement incompréhensible.
b2) Par exemple lorsque tu écrit "car OD=OE", on sait pas si c'est "en vecteur" ou "en distance".
Mais en fait, ça change pas grand chose : soit c'est "en vecteur" et ça signifie en fait que D=E et je vois pas l'intérêt de donner un nouveau nom à un point qui existe déjà, soit c'est "en distance" et je vois pas comment tu peut faire, partant uniquement d'une égalité sur les distances, pour en déduire une égalité sur les produits scalaires.

Sinon, concernant la partie en rouge, ben faudrait apprendre à lire : je n'ai jamais affirmé qu'on ne pouvait pas prendre X=O (on peut évidement prendre X=ce qu'on veut).
J'ai uniquement dit que, si tu avais comme demandé développé le produit scalaire avec un X, tu aurais constaté que ce n'était pas X=O qui simplifiait le mieux l'expression.

[Lapprenti]

En fait, je ne sais pas comment mettre le vecteur sur les lettres.
Alors quel X me suggérez vous ?

Vecteur MC x Vecteur MD = ( Vecteur MX + vecteur XC) x ( Vecteur MX + Vecteur XD)
= MX² + vecteur MX x vecteur XD + vecteur XC x vecteur MX+ vecteur XC x vecteur XD.

= MX² - vecteur XM x vecteur XD - vecteur XC x vecteur XM+ vecteur XC x vecteur XD.

[Ben314]

Le bases du MimeTeX =>
guide-utilisation-f41/ecrire-des-belles-formules-mathematiques-balises-tex-t70548.html
Et tu peut aussi "citer" les messages des autres pour reprendre les formules et éviter de recopier.
(par exemple "citer" celui là pour compléter la formule çi dessous)

Sinon (bis et répéta), si est un point quelconque, comment ça se développe

[Lapprenti]

Le bases du MimeTeX =>
guide-utilisation-f41/ecrire-des-belles-formules-mathematiques-balises-tex-t70548.html
Et tu peut aussi "citer" les messages des autres pour reprendre les formules et éviter de recopier.
(par exemple "citer" celui là pour compléter la formule çi dessous)

Sinon (bis et répéta), si est un point quelconque, comment ça se développe

[tex]\vec{MC}.\vec{MD}=(\vec{MX}+\vec{XC}).(\vec{MX}+\vec{XD})=
\vec{MX}.\vec{MX} + \vec{MX}.\vec{XD} + \vec{XC}.\vec{MX} +\vec{XC}.\vec{XD}
= \vec{MX}.\vec{MX} - \vec{XM}.\vec{XD} - \vec{XC}.\vec{XM} + \vec{XC}.\vec{XD}

Si x est un point quelconque, je peux reprendre C pour simplifier non ?

\vec{MC}.\vec{MC}+\vec{MC}.\vec{CD}+\vec{CC}.\vec{MC}+\vec{CC}.\vecCD}

[Ben314]

Si x est un point quelconque, je peux reprendre C pour simplifier non ?

Non, ça simplifie quasiment rien.

-------------
-------------
Et évidement, ça qui simplifierais grandement le bidule, c'est que , c'est à dire que soit...

[Lapprenti]

Si x est un point quelconque, je peux reprendre C pour simplifier non ?

Non, ça simplifie quasiment rien.

-------------
-------------
Et évidement, ça qui simplifierais grandement le bidule, c'est que , c'est à dire que soit...

Le point doit être à l'intérieur du cercle ou à l'extérieur ?
Je sais que \vec{MX}.\vec{XD}+\vec{XC}.\vec{MX} doit être égal à 0.
Et donc, le point doit être au milieu du segment [CD] appelé N et grâce à un produit scalaire qui met en jeu le cos 0 et cos \Pi le résultat va être égal à 0.

MN²+ \vec{MN}.\vec{ND}+\vec{NC}.\vec{MN}+\vec{NC}.\vec{ND}
MN²- \vec{NM}.\vec{ND}-\vec{NC}.\vec{NM}+\vec{NC}.\vec{ND}
MN²-NM x ND x cos\Pi-NC x NM x cos 0+NC x ND x cos\Pi
MN²-NC x ND = MN²-R².
c'est ça ?

[Lapprenti]

Si j'ai bon, j'passe à la q2.
Si la droite d pivote autour de M, alors la droite et le cercle ont toujours pour points d'intersection C et D et donc le produit scalaire \vec{MC}.\vec{MD} a le même résultat.
(Pas réussi à faire de calculs pour confirmer la chose )

3. \vec{MC}.\vec{MD}= k

Ça, je n'en ai aucune idée

[Ben314]

Le point doit être à l'intérieur du cercle ou à l'extérieur ?
Je sais que \vec{MX}.\vec{XD}+\vec{XC}.\vec{MX} doit être égal à 0.
Et donc, le point doit être au milieu du segment [CD] appelé N et grâce à un produit scalaire qui met en jeu le cos 0 et cos \Pi le résultat va être égal à 0.

Ca te sert à rien tes cos(0) et cos(pi) et ça nuit plutôt qu'autre chose vu que tu sait même pas lequel des deux angles vaut 0 ou pi, que c'est même pas complètement clair que, où que soit le point M, il y a un des deux qui vaut 0 et l'autre pi et qu'en plus, cette histoire d'angle, ben ça a pas de sens dans le cas où un des deux vecteurs est le vecteur nul.
Bref, c'est 100 fois plus simple et plus efficace de dire que, si on prend pour le milieu de [CD] alors c'est le vecteur nul donc ça vaut systématiquement 0 et on a donc :

Et on termine en utilisant bêtement Pythagore qui nous dit que MN²+NO²=MO² et que DN²+NO²=DO²=R² donc que MN²-ND²=OM²-R².

Et pour la question 2), ben y'a rien à calculer : la quantité OM²-R² ne dépend évidement pas de la droite passant par M qu'on a choisi (pourvu qu'elle coupe le cercle) donc est indépendant de la droite.

Enfin, pour la Q3), ben tu fait exactement la même chose, à savoir que tu introduit le milieu de [CD] dans le produit scalaire.