Prouver que 0,4567367367(367 a l'infinie) est rationnel

[Pierrou]

J'aimerais savoir comment prouver cela, certain avance la technique 100A - 45=B. Avec a notre nombre.
cepandant jai essayé cette technique mais je n'ai pas réussi à bien l'utiliser (calculer B sou forme décimal infinie, tu cherche ensuite une équation du premier degré qui vérifie , la je n'ai plus rien compris..

[Tuvasbien]

Si on pose alors donc donc . Plus généralement un réel est rationnel si et seulement si son écriture décimale est périodique à partir d'un certain rang, ce qui est bien le cas ici.

[titine]

J'aimerais savoir comment prouver cela, certain avance la technique 100A - 45=B. Avec a notre nombre.
cepandant jai essayé cette technique mais je n'ai pas réussi à bien l'utiliser (calculer B sou forme décimal infinie, tu cherche ensuite une équation du premier degré qui vérifie , la je n'ai plus rien compris..

Si on pose A = 0,45673673673......
100A = 45,673673673....
Donc 100A - 45 = 45,673673673.... - 45 = 0,673673673.....
Donc B = 0,673673673.....
De plus 1000B = 673,673673673...
Donc 1000B - B = 673
Donc 999B = 673
B = 673/999
Et comme 100A - 45 = B = 673/999
Alors A = (673/999 + 45)/100 = 456280/999000 = 11407/24975
Donc A est bien rationnel.

As tu compris ?