Programme Linéaire 2 Questions

[matheuse71]

Bonjour, voici l'exercice :
Un hôtel veut renouveler une partie de son équipement. Il faut changer au moins 72 coussins, 48 rideaux et 32 jetés de lit.
Cet hôtel s'adresse à deux ateliers de confection, qui lui proposent respectivemet les deux offres suivantes par lots :
_l'atelier Idea : un lot de 12 coussins, 4 rideaux et 4 jetés de lit pour un montant de 320€
_l'atelier Rénov : un lot de 6 coussins, 6 rideaux et 2 jetés de lit pour un montant de 240€
On note x le nombre de lots Idea achetés et y le nombre de lots Rénov achetés par cet hôtel

1°) Justifier que les nombres x et y sont solutions du système (S) suivant :
x >ou= 0
y >ou= 0
2x+y >ou= 12
2x+3y >ou=24
2x+y >ou= 16

2°) Résoudre graphiquement le système (S) dans un repère orthonormé (unité 1 cm)
3°)a) Quelle est la dépense D occasionée par l'achat de x lots Idea et y lots Rénov?
b) Montrer que les deux points de coordonnées (x;y) occasionnant la dépense D appartiennent à une droite (delta D') , dont on calculera le coeficien directeur
c)Tracer les droites d3840 et d2160
Justifier le fait qu'elles sont parallèles
4°) Par translation de l'une des droites tracées ci-dessus, déterminer en quel point du domaine des contraintes la dépense est minimum
5°) Combien de lots Idea et de lots Rénov l'hôtel doit-il acheter pour que sa dépense soit minimum? et quel est le montant (en euros) de cette dépense minimum?
voila j'ai fait les questions 1 , 2 , 3 mais pour la 4 et la 5 je bloque je ne sais pas du tout comment il faut faire!!
J'espère que quelqu'un pourra m'aider!
Bonne soirée!!

[Florélianne]

Un hôtel veut renouveler une partie de son équipement. Il faut changer au moins 72 coussins, 48 rideaux et 32 jetés de lit.
Cet hôtel s'adresse à deux ateliers de confection, qui lui proposent respectivement les deux offres suivantes par lots :

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]l'atelier Idea : un lot de 12 coussins, 4 rideaux et 4 jetés de lit pour un montant de 320€

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]l'atelier Rénov : un lot de 6 coussins, 6 rideaux et 2 jetés de lit pour un montant de 240€

1.On note x le nombre de lots Idea achetés et y le nombre de lots Rénov achetés par cet hôtel
Justifier que les nombres x et y sont solutions du système (S) suivant :
x ;) 0 et y ;) 0
2x+y ;) 12
2x+3y ;) 24
2x+y ;) 16

x et y étant le nombre de lots à acheter, ils ne peuvent être négatifs !

chez Idea : si on achète x lots on a 12x coussins , 4x rideaux et 4x jeté de lit pour 320x €

chez Rénov, si on achète y lots on a 6y coussins, 6y rideaux et 2y jetés de lit pour 240y €

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]il faut changer au moins 72 rcoussins donc 12x + 6y 72 et en multipliant l’inégalité par 1/6 (positf) on obtient 2x + y ;) 12

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]il faut changer au moins 48 rideaux donc 4x + 6y 48 et en multipliant par ½ (positif) on obtient : 2x + 3y 24

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]il faut changer au moins 32 jetés de lit donc 4x + 2y 32 et en multipliant par ½ (positif) on obtient : 2x + y 16

donc on obtient bien le système :

x ;) 0 et y ;) 0
2x+y ;) 12
2x+3y ;) 24
2x+y ;) 16



2.Résoudre graphiquement le système (S) dans un repère orthonormé (unité 1 cm)

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]x 0 et y 0 donc on ne tracera que le premier cadrant

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]2x+y 12 il faut d’abord tracer la droite D : 2x + y = 12

Elle passe par les points A et B tels que : si x = 0 alors y = 12 A(0 ; 12)

Si y = 0 alors 2x= 12 et x = 6 B(6 ; 0)

La partie qui nous intéresse et au dessus de cette droite

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]2x+3y 24 il faut racer la droite D’ = (CE) : 2x + 3y = 24 avec

si x = 0 alors 3y = 24 et y = 8 C(0 ; 8)

si y = 0 alors 2x = 24 et x = 12 E(12 ; 0)

La partie qui nous intéresse et au dessus de cette droite

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]2x+y 16 il faut tracer la droite D’’ = (FG) : 2x + y = 16 avec :

si x = 0 alors y = 16 F(0 ; 16)

si y = 0 alors 2x = 16 et x = 8 G(8 ; 0)

La partie qui nous intéresse et au dessus de cette droite



3. a) Quelle est la dépense D occasionnée par l'achat de x lots Idea et y lots Rénov?

La dépense est de 320x + 240y

b) Montrer que les deux points de coordonnées (x;y) occasionnant la dépense D appartiennent à une droite (delta D') , dont on calculera le coefficient directeur

d = 320x + 240y ou 240y = - 320x + d ou y = -320/240 x + d/240

le coefficient directeur est -320/240 =-4/3

c) Tracer les droites d3840 et d2160
Justifier le fait qu'elles sont parallèles

320x+240y= 3840 ou 32x + 24y = 384 ou 4x + 3y = 48

Si x = 0 3y = 48 y= 16 H(0 ; 16)

Si y = 0 4x = 42 x = 12 K(12 ; 0)



320x + 240y = 2160 ou 32x + 24y = 216 ou 4x + 3y = 27

Si x = 0 3y = 27 y = 9 L(0 ; 9)

Si y = 0 4x = 27 x = 6,75 M(6,75 ; 0)



Les droites sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur(-4/3)



4.Par translation de l'une des droites tracées ci-dessus, déterminer en quel point du domaine des contraintes la dépense est minimum

Ces droites sont toutes parallèles, elles représentent pour un côut donné les différentes compositions de lots donc seule la partie de la droite situéecomprise dans le domaine de contrainte ne nous intéresse. La dépense minimale est pour la droite parallèle aux deux précédentes qui passe par le point le plus bas du domaine de contrainte c'est-à-dire celle qui passe par le point S(6 ; 4)

5. Combien de lots Idea et de lots Rénov l'hôtel doit-il acheter pour que sa dépense soit minimum? et quel est le montant (en euros) de cette dépense minimum?
S(6 ; 4) donc x = 36 6 lots de Idéa : 72 coussins, 24 rideaux et 24 jetés de lit

y= 4 donc 4 lots de Rénov : 24 coussins , 24rideaux et 8 jetés de lit

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]au total : 96 coussins, 48 rideaux et 32 jetés de lit

[font=Symbol]·[font=&quot] [/font][/font]pour un montant de : 6x320 + 4x240 = 1920 + 960 = 2880 €



bonne soirée