DM produits scalaire

[littlecloudy]

Salut je dois rendre mon DM rapidement et j'ai tracé la figure mais j'arrive pas à démontrer ce qui est demander dans les questions. Alors si quelqu'un pouvait m'aider sa serait super. Merci d'avance



Soit C un cercle de centre o et de rayon R>0. Soit M un plan et D une droite passant par M et qui coupe C en A et B.
1) a) Démonter que MA.MB=MA.MA’ (les 4 ce sont des vecteurs) où A’ est le point de C diamétralement opposé à A.
2) b) En déduire que MA.MB (vecteurs)=OM²- R²
Le nombre MA.MB de dépend donc que de M et pas de la droite D choisie. On l’appelle puissance du point M par rapport à C. Notons le pc(M).
3) Soit k un réel fixe. Déterminer Ck Lieu des points M tels que pc(M)=k
4) C’ un cercle de centre O’ et de rayon R’>0. On se propose de déterminer le lieu l des points ayant la même puissance par rapport à C et C’.
a) Monter que pc(M)= pc’(M) si et seulement si IM.IO(vecteurs)=(R’²-R²)/4 où I est le milieu de [OO’].
b) En déduire la nature de l.
c) On suppose que C et C’ se coupent en A et B. Démontrer que A et B sont points de l. En déduire l

[Florélianne]

Bonsoir,
remarque les vecteurs sont soulignésSoit C un cercle de centre O et de rayon R>0. Soit M un plan et D une droite passant par M et qui coupe C en A et B.
1) a) Démonter que MA.MB=MA.MA’ où A’ est le point de C diamétralement opposé à A.

• [AA'] est un diamètre de C et B est un point de ce cercle donc le triangle AA'B est rectangle en B donc AB.A'B = 0

• MB=MA'+A'B

en utilisant ces deux propriétés la réponse devrait être facile à trouver


2) b) En déduire que MA.MB = OM²- R²
MA.MB=MA.MA’
MA.MA’ intercale le point O (relation de Châles) puis distributivité du produit scalaire sur l'addition
calcule...

Le nombre MA.MB de dépend donc que de M et pas de la droite D choisie. On l’appelle puissance du point M par rapport à C. Notons le pc(M).
3) Soit k un réel fixe. Déterminer Ck Lieu des points M tels que pc(M)=k
pc(M)=kOM²- R² = k OM²= R²+k
si k -R² alors ...

4) C’ un cercle de centre O’ et de rayon R’>0. On se propose de déterminer le lieu l des points ayant la même puissance par rapport à C et C’.
a) Monter que pc(M)= pc’(M) si et seulement si IM.IO=(R’²-R²)/4
où I est le milieu de [OO’].
pc(M)= pc’(M)OM²- R² = O'M²- R'²
OM = OI+IM et O'M = O'I+IM
remplace dans l'égalité du dessus, développe les carréset simplifie

b) En déduire la nature de l.
IM.IO = IM.IO cos(OIM)= (R'²-R²)/4
IM cos(OIM) = (R'²-R²)/4IO


c) On suppose que C et C’ se coupent en A et B. Démontrer que A et B sont points de l. En déduire

Désolée, pour la suite on verra... j'ai besoin de repos, je n'ai plus les idées claires...
Bon travail

[littlecloudy]

merci beaucoup Florélianne