Produit scalaire

[fany972]

Bonjour,
Voici un exercice complexe pour moi!


ABCDEFGH est le cube d'arete 1 (ABCD face du bas et EFGH face du haut)
L'espace est muni du repere orthonormal (A,AB,AD,AE)
On designe par "a" un reel strictement positif.
L,M et K sont les points definis par : (les segments sont des vecteurs)
AL=aAD , AM=aAB , CK=aCG.
1)a)calculer le produit scalaire EM.EL
b)en deduire la valeur ,en fonction de a, de cos (MÊL).
c)En deduire que sin (MÊL) = (a racine de (a^2+2))/(1+a^2)
d)calculer l'aire du triangle ELM
e)demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

2)on note P le projete orthogonal de A sur le plan (ELM)
a)demontrer que AM.AK=AP.AK
b)les vrecteurs AP et AK etant colineaires ,on note alpha le reel tel que AP= (alpha)AK
Demontrer que alpha = a/(a^2+2).
En deduire que P appartient au segment [AK].
c)determiner les coordonnees de P
d)Exprimer PK en fonction de AK
En deduire que PK=(a^2-a+2)/(V(a^2+2)

reponse pr 1 a)
Dans le repère donné :
M(a;0;0), E(0;0;1), L(0;a;0) d'où EM*(a;0-1) et EL*(0;a;-1) ainsi
EM*.EL* = 1.
Par ailleurs EM*.EL* = EM.ELcos(MEL)=... d'où le cosinus recherché :
cos(MEL) = 1/(1 + a²).

et le c)
En conséquence sin² (MÊL) = 1 - cos²(MÊL) = 1 - (1/(1+a²))² = 1 - 1/(a+1)² = (a²+2a)/(a+1)² d'où sin(MÊL) = (a²+2a)1/2/(a²+1) en effet sin(MÊL)> 0 puisque MÊL est aigu.

merci

[Ben314]

bonsoir,
Pour le a) et le b) : O.K.
Pour le c, je n'arive pas trop à lire (sait tu écrire en LaTeX ?)
La méthode est bonne et la réponse correcte est.... celle de l'énoncé.
Juste une petite remarque pour le c), dans l'espace de dimension 3, contrairement au plan, on ne peut pas parler d'angles orientés, donc les sinus sont... toujours positifs et cela n'a rien à voir avec les angles aigus (dans le plan non plus d'ailleurs...)

As tu commencé le 2) ?