Produit scalaire

[La Marmotte]

Salut à tous, j’ai quelques petits problèmes pour ce DM. Merci d’avance.

exercice A) Soit un triangle équilatéral ABC de côté a et les points D et E définis par :
Vecteur AD=3/2BC (vecteur) et vecteur BE=1/4AC (vecteur)

a- Calculer le produit scalaire AB.AC en fonction de a
b- Démontrer que les droites (AC) et (DE) sont perpendiculaires
c- ON note H le point d’intersection des droites (AC) et (DE). Calculer AH en fonction de a
d- Démontrer que la droite (DE) coupe le segment [BC] en son milieu I. Déterminer la nature du quadrilatère BECH.

exercice B) Calculer les coordonnées du projeté orthogonal H du point A(4 ;4) sur la droite ;) d’équation 2x-4y+13=0

exercice C) Soit un triangle ABC.
a) Démontrer que pour tout M du plan :
AB.CM+BC.AM+CA.BM=0
b) On note H le point d’intersection des hauteurs issues d B et de C. Démontrer en utilisant l’identité précédente que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
c) En déduire que dans tout triangle, les 3 hauteurs sont concourantes.


Mes réponses:
exercice C) a-
AB.(CA+AM)+(BA+AC).AM+CA.(BA+AM)
=AB.CA+AB.AM-AM.AB+AM.AC-CA.AB+AM.CA
=AB.(CA+AM-AM-CA)+AM.AC+AM.CA
=AM.AC-AM.AC
=0

b- On sait que AB.CM+BC.AM+CA.BM=0 pour tout M du plan donc AB.CH+BC.AH+CA.BH=0 pour H
comme AB.CH+BC.AH+CA.BH=0 alors veteur BC perpendiculaire au vecteur AH (en effet, vecteur BC orthogonal au vecteur AH et AH=0 et BC.AH= 0
donc (BC) perpendiculaire à (AH) et (AH) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC

c- ?


A)
a) AB.AC= Ab*AC*cos BAC
AB.AC= a²*cos60=a²/2

b) Il faut démontrer que les droites (AC) et (DE) sont perpendiculaires, pour cela, il faut que AC.DE=0
AC.DE
= AC. (DA+AB+BE)
= AC.DA+AC.AB+AC.BE
= AC.DA+AB.AC+AC.BE
= -AC.3/2 BC+a²/2+AC.1/4AC
= après je n’arrive pas à faire la suite
c) et d) ?




B) Pour tracer delta : 5x+3y-15=0
Soit y=(-5x+15)/3
Le vecteur normal a pour coordonnées (5 ;3)

Je ne sais pas comment résoudre ce problème.

[hellow3]

Salut à tous, j’ai quelques petits problèmes pour ce DM. Merci d’avance.

exercice A) Soit un triangle équilatéral ABC de côté a et les points D et E définis par :
Vecteur AD=3/2BC (vecteur) et vecteur BE=1/4AC (vecteur)

a- Calculer le produit scalaire AB.AC en fonction de a
b- Démontrer que les droites (AC) et (DE) sont perpendiculaires
c- ON note H le point d’intersection des droites (AC) et (DE). Calculer AH en fonction de a
d- Démontrer que la droite (DE) coupe le segment [BC] en son milieu I. Déterminer la nature du quadrilatère BECH.

exercice B) Calculer les coordonnées du projeté orthogonal H du point A(4 ;4) sur la droite d’équation 2x-4y+13=0

exercice C) Soit un triangle ABC.
a) Démontrer que pour tout M du plan :
AB.CM+BC.AM+CA.BM=0
b) On note H le point d’intersection des hauteurs issues d B et de C. Démontrer en utilisant l’identité précédente que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
c) En déduire que dans tout triangle, les 3 hauteurs sont concourantes.


Mes réponses:
exercice C) a-
AB.(CA+AM)+(BA+AC).AM+CA.(BA+AM)
=AB.CA+AB.AM-AM.AB+AM.AC-CA.AB+AM.CA
=AB.(CA+AM-AM-CA)+AM.AC+AM.CA
=AM.AC-AM.AC
=0

b- On sait que AB.CM+BC.AM+CA.BM=0 pour tout M du plan donc AB.CH+BC.AH+CA.BH=0 pour H
comme AB.CH+BC.AH+CA.BH=0 alors veteur BC perpendiculaire au vecteur AH (en effet, vecteur BC orthogonal au vecteur AH et AH=0 et BC.AH= 0
donc (BC) perpendiculaire à (AH) et (AH) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC
C'est pas super clair.
AB.CH+BC.AH+CA.BH=0 or AB.CH=0 car H appartient à la hauteur issue de C, donc AB et CH sont perpendiculaires
De la même manière, H appartient à la hauteur issue de B, donc CA.BH=0
donc 0+BC.AH+0=0 soit BC.AH=0
c-
Si BC.AH=0, alors H appartient à la hauteur issue de A. Comme H appartenait aux deux autres hauteurs, on en deduit que les 3 hauteurs sont concourantes en H.

A)
a) AB.AC= Ab*AC*cos BAC
AB.AC= a²*cos60= a²/2

b) Il faut démontrer que les droites (AC) et (DE) sont perpendiculaires, pour cela, il faut que AC.DE=0
AC.DE
= AC. (DA+AB+BE)
= AC.DA+AC.AB+AC.BE
= AC.DA+AB.AC+AC.BE
= -AC.3/2 BC+a²/2+AC.1/4AC
= après je n’arrive pas à faire la suite

C'est pas mal, AC.BC=a*a*cos(60)
c)
Calcul AH.AD de dux manières. =||AH||*||AD||*cos60=AH.AH (car H est le projeté orthogonal de D sur AH; donc AH.AD=AH.AH)

d)
Même principe




B) Pour tracer delta : 5x+3y-15=0
Soit y=(-5x+15)/3
Le vecteur normal a pour coordonnées (5 ;3)

Je ne sais pas comment résoudre ce problème.

AH=k*vecteur normal et H appartient à la droite, donc ses coordonnés verifient l'equation de la droite