Produit scalaire

[lapras]

bonjour à tous,
le chapitre du produit scalaire m'interresse fortement, et j'en ai étudié "plusieurs versions différents" sur plusieurs cours différents.
certains cours donnent la définition :
"le produit scalaire de deux vecteurs u est v est défini par : u.v = ||u||.||v||.cos(a)"
un autre cour commence par la définition :
"u.v = 0.5(||u+v||²-||u||²-||v||²)"

On peut démontrer :
u.v = 0.5(||u+v||²-||u||²-||v||²) grace a la définition :
u.v = ||u||.||v||.cos(a)

ou bien démontrer :
u.v = ||u||.||v||.cos(a)
grace a la définition
u.v = 0.5(||u+v||²-||u||²-||v||²)

Puis suivent tous les autres théoremes (al kashi, médiane, équations de cercles......) démontrables grace a la définition.

Mais j'ai une question :
Pourquoi je n'aurais pas le droit de définir moi meme le produit scalaire par exemple par :
u.v = ||u||.||v||.sin(a)
ou bien définir
u.v = 0.5||u+v||²
???

[Sylar]

C'est parce qu'on est en géométrie euclidienne élémentaire .........

[lapras]

Qu'es ce que ca fait d'etre en géométrie euclidienne élémentaire ?

[Joker62]

C'est mal fait le produit scalaire au lycée quand même
Il balance une définition alors que bon c'est pas trop ça !

Déjà on part d'un produit scalaire qui a 3 propriétés :
La bilinéarité, la symétrie et la strict positivité ( Ne cherche pas à comprendre ou va voir wiki :D )

Ensuite, avec ce produit scalaire, on définit une norme N(u) = Racine( u.u )

Donc là un premier problème se pose, d'après le lycée, il n'existe qu'un produit scalaire, la norme existe déjà avant puisqu'on l'utilise dans la définition.

Donc en gros ça tourne en rond.

Une vraie définition du produit scalaire sur R^2 pour moi ça serait donc

u.v = xx' + yy'
Avec u : ( x , y ) et v : ( x' , y' )
Définition qui existe mais qui vient bien après dans le cours il me semble.

[lapras]

En premiere,
u.v = xx' + yy'
est démontré grace a la définiton que j'ai énoncé dans mon post.
Mais qu'est ce qui m'empeche de définir en toute premiere définition :
u.v = 3xx' + 2yy'
?

Déjà on part d'un produit scalaire qui a 3 propriétés :
La bilinéarité, la symétrie et la strict positivité ( Ne cherche pas à comprendre ou va voir wiki )

je n'ai rien vu sur la bilinéarité sur wiki

Tu peux m'expliquer ce que c'est ?

[anima]

En premiere,
u.v = xx' + yy'
est démontré grace a la définiton que j'ai énoncé dans mon post.
Mais qu'est ce qui m'empeche de définir en toute premiere définition :
u.v = 3xx' + 2yy'
?

je n'ai rien vu sur la bilinéarité sur wiki

Tu peux m'expliquer ce que c'est ?

u(v+v') = uv + uv'
(u+u')v = uv + u'v

[Joker62]

Dans ce qui suit je noterai pour le produit scalaire !!

Donc bilinéarité :

= +
= a

C'est ça la bilinéarité !

La symétrie c'est : =

Et la stricte positivité on a :

= 0 => u = 0 ( le vecteur nul )

[lapras]

Ok Joker, mais dans mon cour, ce qui tu viens d'écrire est présenté sous forme de théoreme et démontré grace a la définition.Pourquoi ?

[Joker62]

C'est là tout le problème du lycée en fait ! :)
On admet, on admet et on admet

[lapras]

manque de chance, je déteste admettre, je veux que tout soit démontré.
résultat : j'aime la trigonométrie pourtant je n'aime pas vraiment les cours de trigo car les formules (la plupart !!!!) ne sont pas démontrées...

Mais Joker, la bilinéarité ça serait pas commutativité ?
Mais je ne sais toujours pas pourquoi, je n'ai pas le droit de dire que :
u.v = 5xx' + 36yy' comme définiton de base du produit scalaire ?

[raptor77]

Lapras regarde ca http://www.dma.ens.fr/culturemath/questions/questions.htm
ca peut t'aider

[Joker62]

Les formules de trigo se démontrent bien avec un produit scalaire.
La bilinéarité n'a rien à voir avec la commutativité

Et donc qui t'as dit que t'avais pas l'droit ???
Si la formule proposé vérifient les 3 propriétés alors c'est un produit scalaire également.

D'ailleurs pour tout te dire, il existe même des produits scalaire avec des intégrales :) épatant non ? :)

Les quaternions !
ça tape haut là :D

[lapras]

Ok joker je comprend.
mais alors ca veut dire, quesi j'arrive a définir un nouveau produit scalaire, alors je pourrai completement changer tous les théoremes démontrés grace aux produits scalaires et ainsi que la trigonométrie !!
non ?

[Joker62]

Biensur que non
Les formules proposées sont générales

On prend un produit scalaire n'importe lequel !
On pose qui la vraie définition de la norme !

Calculons ainsi :



J'ai utilisé la bilinéarité et la symétrie

[Joker62]

Biensur que non
Les formules proposées sont générales

On prend un produit scalaire n'importe lequel !
On pose qui la vraie définition de la norme !

Calculons ainsi :



J'ai utilisé la bilinéarité et la symétrie.
Modif

[Joker62]

Biensur que non
Les formules proposées sont générales

On prend un produit scalaire n'importe lequel !
On pose qui la vraie définition de la norme !

Calculons ainsi :





J'ai utilisé la bilinéarité et la symétrie.
Modif

[lapras]

Joker merci beaucoup, c'est tres sympa !
Tu viens de me démontrer exactement ce que je voulais, sans utiliser de définitions autre que la norme.
Je te dois une biere.

[Joker62]

Oh Tavernier ! J'aime ce forum saperlipopette !

[lapras]

Moi aussi ^^