Produit scalaire

[samirou]

BONJOUR A TOUS J'ai un exercice sur le produit scalaire j ai réussi à faire les questions 1°/, 2°/ et 3°/ a) mais le reste me pose problème. Si quelqu'un a une idée voici l’énonce complet:

Soit ABC un triangle et A’, B’, C’ les milieux des côtés [BC],[CA] et [AB]. On désigne par G le centre de gravité du triangle ABC. On se propose de répondre aux questions suivantes :
- A quelle condition les médianes (AA’) et (BB’) sont elles orthogonales ?
- Quelle est alors la mesure en degrés de l’angle A si on suppose de plus ABC isocèle en A ?
1°/ Démontrer que
AB^2+AC^2=9(GB^2+GC^2 )- 4BC^2 (1).
2°/ En déduire que (BB’) et (CC’) sont orthogonales si et seulement si AB^2+AC^2=5BC^2.
3°/ a) Démontrer que 9 GB.GC)= AB.AC -2BC^2. (GB,GC,AB et AC sont en vecteur)
b) En déduire que (AA’) et (BB’) sont orthogonales si et seulement si cosA =2(AB^2+AC^2 )/(5 AB.AC)
c) On suppose que les droites (AA’) et (BB’) sont orthogonales et que ABC est isocèle en A. Montrer que cosA =4/(5 ). En déduire la mesure en degrés de l’angle A, arrondie au dixième.
4°/ Soit ABC un triangle isocèle en A, de centre de gravité G.
Montrer que cosA =(5cos BGC+4)/(4cos BGC+5). Retrouver ainsi le résultat de la question 3°/ c) (le chapeau c'est en G je veux dire l'angle G)
Indication :
AB = AC = b ; BC = a. Appliquer la formule d’Al-Kashi aux triangles ABC et GBC, en déduire que 9b^2 (1-cos A )=(b^2+2a^2 )(1-cos GBC).

voici mes résultats:
1°/ GB^2+GC^2=2GA'^2+BC^2/2=(2AA'^2)/9 +BC^2/2 (1)
AB^2+AC^2=2AA^'^2+BC^2/2 d^' où
2AA'^2=AB^2+AC^2-BC^2/2 que j’ai remplacé dans (1) pour avoir
GB^2+GC^2=1/9 (AB^2+AC^2-BC^2/2)+BC^2/2 d’où AB^2+AC^2=9(GB^2+GC^2 )-4BC^2 (1)
2°/ Si (BB’) et (CC’) sont orthogonales le triangle GBC est rectangle en G doncGB^2+GC^2=BC^2
Donc AB^2+AC^2=9BC^2-4BC^2=5BC^2
3°/a) AB^2+AC^2= (AB -AC)^2 +2AB.AC= BC^2 +2 AB.AC ( AB et AC sont en vecteur)
GB^2+GC^2= (GB -GC)^2 +2 GB.GC = BC^2 +2 GB.GC (GB et GC sont en vecteur)
Donc BC^2 + 2 AB .AC = 9[BC^2 + 2 GB.GC ]-4BC^2 d'où 9GB.GC = AB.AC-2BC^2 (AB, AC, GB et GC sont en vecteur)

[geegee]

BONJOUR A TOUS J'ai un exercice sur le produit scalaire j ai réussi à faire les questions 1°/, 2°/ et 3°/ a) mais le reste me pose problème. Si quelqu'un a une idée voici l’énonce complet:

Soit ABC un triangle et A’, B’, C’ les milieux des côtés [BC],[CA] et [AB]. On désigne par G le centre de gravité du triangle ABC. On se propose de répondre aux questions suivantes :
- A quelle condition les médianes (AA’) et (BB’) sont elles orthogonales ?
- Quelle est alors la mesure en degrés de l’angle A si on suppose de plus ABC isocèle en A ?
1°/ Démontrer que
AB^2+AC^2=9(GB^2+GC^2 )- 4BC^2 (1).
2°/ En déduire que (BB’) et (CC’) sont orthogonales si et seulement si AB^2+AC^2=5BC^2.
3°/ a) Démontrer que 9 GB.GC)= AB.AC -2BC^2. (GB,GC,AB et AC sont en vecteur)
b) En déduire que (AA’) et (BB’) sont orthogonales si et seulement si cosA =2(AB^2+AC^2 )/(5 AB.AC)
c) On suppose que les droites (AA’) et (BB’) sont orthogonales et que ABC est isocèle en A. Montrer que cosA =4/(5 ). En déduire la mesure en degrés de l’angle A, arrondie au dixième.
4°/ Soit ABC un triangle isocèle en A, de centre de gravité G.
Montrer que cosA =(5cos BGC+4)/(4cos BGC+5). Retrouver ainsi le résultat de la question 3°/ c) (le chapeau c'est en G je veux dire l'angle G)
Indication :
AB = AC = b ; BC = a. Appliquer la formule d’Al-Kashi aux triangles ABC et GBC, en déduire que 9b^2 (1-cos A )=(b^2+2a^2 )(1-cos GBC).

voici mes résultats:
1°/ GB^2+GC^2=2GA'^2+BC^2/2=(2AA'^2)/9 +BC^2/2 (1)
AB^2+AC^2=2AA^'^2+BC^2/2 d^' où
2AA'^2=AB^2+AC^2-BC^2/2 que j’ai remplacé dans (1) pour avoir
GB^2+GC^2=1/9 (AB^2+AC^2-BC^2/2)+BC^2/2 d’où AB^2+AC^2=9(GB^2+GC^2 )-4BC^2 (1)
2°/ Si (BB’) et (CC’) sont orthogonales le triangle GBC est rectangle en G doncGB^2+GC^2=BC^2
Donc AB^2+AC^2=9BC^2-4BC^2=5BC^2
3°/a) AB^2+AC^2= (AB -AC)^2 +2AB.AC= BC^2 +2 AB.AC ( AB et AC sont en vecteur)
GB^2+GC^2= (GB -GC)^2 +2 GB.GC = BC^2 +2 GB.GC (GB et GC sont en vecteur)
Donc BC^2 + 2 AB .AC = 9[BC^2 + 2 GB.GC ]-4BC^2 d'où 9GB.GC = AB.AC-2BC^2 (AB, AC, GB et GC sont en vecteur)

Bonjour,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or ... d'Al-Kashi

[samirou]

bonjour j ai visité le lien mais je ne vois pas de piste qui me permet de résoudre mon problème si quelqu'un a une idée plus claire merci de me la donner

[mmadi2056]

tu as essaye en introduisant le AA' et le BB' dans la premiere membre ?

[chan79]

Salut
Je pense qu'il y a une erreur de texte au 3°) b
je corrige en rouge
b) En déduire que (BB') et (CC') sont orthogonales si et seulement si
cosA =2(AB^2+AC^2 )/(5 AB.AC)

[chan79]

Salut
Je pense qu'il y a une erreur de texte au 3°) b
je corrige en rouge
b) En déduire que (BB') et (CC') sont orthogonales si et seulement si
cosA =2(AB^2+AC^2 )/(5 AB.AC)

en effet
vAB signifie vecteur AB
d'après le 2°
(BB') et (CC') sont orthogonales si AB²+AC²=5 BC² (1)
or
cos A= vAB.vAC/(AB*AC) (2)
d'après le 3°a)
vAB.vAC=9 vGB.vGC +2 BC² (3)
vGB et vGC sont des vecteurs qui doivent être orthogonaux
d'après (1), (2) et (3) on a la condition
AB²+AC²=5/2 * cos A* AB* AC
soit
cosA =2(AB²+AC² )/(5 AB.AC)

Ca colle avec la suite le 3°) c est immédiat