Produit scalaire

par **Anonyme** » 06 Mar 2010, 19:22

Bonsoir,

On m'a toujours défini le produit scalaire comme étant:
u.v=XX'+YY'
Cela est bien évidemment faux car est seulement vérifié dans un repère orthonormé.
Maintenant que je viens de voir la vrai définition: u.v=u.v.cos(alpha)
Je suis curieux de savoir comment démontrer la distributivité du produit scalaire avec cette définition.

Merci

par **Sa Majesté** » 06 Mar 2010, 20:03

Salut

Qu'appelles-tu "associativité du produit scalaire" ?

par **Anonyme** » 06 Mar 2010, 20:13

u.(v+w)=u.v+u.w

par **Anonyme** » 06 Mar 2010, 20:47

Désolé c'est pas l'associativité mais la distributivité je viens de corriger.

par **benekire2** » 06 Mar 2010, 22:45

Reviens aux définition. Je n'ai pas essayé, mais c'est surement de cette façon qu'on le démontre.

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 10:13

Le plus simple en fait pour démontrer tes propriétés c'est quand même de prouver d'abord "la forme analytique" du produit scalaire, puis de s'en servir pour la preuve de la bilinéarité.

par **Anonyme** » 09 Mar 2010, 16:19

Pour démontrer la forme analytique j'ai besoin de la distributivité.
Et puis je n'aimerais pas me limiter au repère orthonormé.

par **Anonyme** » 09 Mar 2010, 16:53

Bizarre je ne trouve rien sur le net en plus ! ni site , ni cours , ni forum ...

par **benekire2** » 09 Mar 2010, 16:57

J'ai plusieurs cours sur le produit scalaire. Certains le définissent d'abord de manière analytique d'autres de manière "trigonométrique" . Si tu veut mon avis, on a peut être pas "le niveau" pour définir de manière très précise le produit scalaire.

Je dis ça mais je dis rien ...

par **Anonyme** » 09 Mar 2010, 17:05

benekire2 a écrit:J'ai plusieurs cours sur le produit scalaire. Certains le définissent d'abord de manière analytique d'autres de manière "trigonométrique" . Si tu veut mon avis, on a peut être pas "le niveau" pour définir de manière très précise le produit scalaire.

Je dis ça mais je dis rien ...

Je pense qu'il est faut de le définir de manière analytique car son expression dépend du repère (sauf si tu le défini dans un repère quelconque mais je n'ai jamais vu cette expression en définition).
Si la plupart des manuels scolaire proposent u.v=XX'+YY' c'est parce qu'il est plus facile de démontrer les propriétés du produit scalaire avec cette formule et comme au lycee on utilise presque toujours un repère orthonormée personne ne s'en rendra compte.

par **benekire2** » 09 Mar 2010, 17:17

Oui je suis d'accord avec toi. A la base (historique en tout cas) c'est le travail d'une force . Donc la définition est censé être la version trigonométrique. Mais après, on peut voir les choses sur un autre angle. Si on créé un outil (ie la version analytique) qui se ramène à la définition du produit scalaire qu'on veut ... je ne vois pas vraiment le problème.

Sinon, je viens te confirme ( ou plutot je t'annonce) que les démo de la bilinéarité et des propriétés du produit scalaire sont démontrables sans l'outil analytique ( enfin je crois et je crois me rappeller de leurs démo que je posterais .. ce soir si mes souvenirs reviennent.)

par **Anonyme** » 09 Mar 2010, 18:04

benekire2 a écrit:Sinon, je viens te confirme ( ou plutot je t'annonce) que les démo de la bilinéarité et des propriétés du produit scalaire sont démontrables sans l'outil analytique ( enfin je crois et je crois me rappeller de leurs démo que je posterais .. ce soir si mes souvenirs reviennent.)

C'est ce que je cherche.
Tout est tres facilement démontrable sauf la distributivité.

par **Zweig** » 09 Mar 2010, 18:22

Salut,

Page 5 : http://bkristof.free.fr/cours/Cours%20-%20Geometrie%20elementaire%20du%20plan.pdf

par **Anonyme** » 09 Mar 2010, 18:32

Zweig a écrit:Salut,

Page 5 : http://bkristof.free.fr/cours/Cours%20-%20Geometrie%20elementaire%20du%20plan.pdf

Merci
Mais cela ne me convient pas: Pour démontrer la distributivité ou bilinéarité (j'ai appris un nouveau mot :zen: ) il démontre que dans un repère orthonorme le produit scalaire s'exprime sous la forme u.v=XX'+YY' puis il utilise ce résultat . Cela laisse penser que la bilinéarité est seulement vérifié si le repère est orthonormée.
Je ne suis pas trop convaincu par cette demo.

par **Nightmare** » 09 Mar 2010, 18:38

Salut,

Cf dessin :

E est le translaté de H1 par la translation de vecteur v, et en utilisant cette même translation sur le triangle OH1C, on a rapidement :

:happy3:

par **Nightmare** » 09 Mar 2010, 18:40

par **Anonyme** » 09 Mar 2010, 18:52

Merci
C'est ce que je recherchais.
J'ai besoin de ton aide aussi pour le cas ou l'angle est obtus (je suis un peu perdu avec les signes :briques: )

En y repensant un peu il y a plus de 2 cas.

par **Nightmare** » 09 Mar 2010, 18:54

Le dessin est un peu différent mais c'est globalement la même chose !

par **Anonyme** » 09 Mar 2010, 19:11

Nightmare a écrit:Le dessin est un peu différent mais c'est globalement la même chose !

J'ai fait la figure

Pourrais tu me montrer comment fais ton dans ce cas ?

par **benekire2** » 09 Mar 2010, 22:08

Enfait je viens de retrouver ces démos sur un bouquins de première S .. et bien en les refaisant elles sont tout a fait fausses ... ( faute sur le livre !! )
Mais l'esprit c'est de poser u=OA v=OB w=OC et de prendre les projetés et d'exprimer d'une part u.(v+w) et d'autre part u.v+u.w voilà :hein:

Produit scalaire

Produit scalaire

Qui est en ligne