Produit Scalaire egalité de vecteurs - 1S

par **Fskng** » 17 Jan 2008, 17:09

Bonsoir, je fais en ce moment un exercice sur les produits scalaire et je suis un peu perdu. Voici l'enoncé :

Soit § un cercle de centre O et de rayon R, et M un point quelconque du plan.
On considère une droite D passant par M et coupant le cercle § en deux points, notés A et B. Le but de cet exercice est de démontrer que le produit scalire Vecteur MA (scal.) Vecteur MB est independant de la Droite D.
On appelle C le point diameétralement opposé a A.

1) On considère un point M situé a l'extérieur du cercle §.
a) Démontrer que : Vecteur MA (scal.) Vecteur MB = Vecteur MA (scal.) Vecteur MC.
b) En deduire que Vecteur MA (scal.) Vecteur MB = OM² - R²
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J'ai donc essayé de faire ceci , j'ai opté pour la relation de Chasles, j'ai essayé de jouer et de retrourner dans tout les sens le Vecteur MA (scal.) Vecteur MC en decomposant mais rien ne sort.
Si non on sait que :
-Vecteurs MA et MB coolineaires de même sens.
-Vecteur CO = Vecteur OA
- Vecteurs AB et BC Ortogonaux (Pas sur).
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Voila si vous pouviez m'aider , se serait parfait. Merci d'avance !!

par **annick** » 17 Jan 2008, 18:11

Bonsoir,
Pour la 1ère question, il faut prendre une des formules du produit scalaire qui parle de projection orthogonale :

MA.MC=MA.MB car C se projette en B sur MA (revois les formules que tu as)

par **annick** » 17 Jan 2008, 18:15

on peut le dire autrement :

MA.MB=MA(MC+CB)=MA.MC+MA.CB
Or MA et CB sont orthogonaux car ABC rectangle en B.
Donc MA.CB=0
Soit MA.MB=MA.MC

par **annick** » 17 Jan 2008, 18:26

MA.MC=(MO+OA)(MO+OC)=MO²+(OA.OC)+MO(OA+OC)
OA+OC=0
OA.OC=-R²
Donc MA.MC=MO²-R

Excuse-moi, je n'ai pas mis les flèches de vecteurs pour aller plus vite

par **Fskng** » 17 Jan 2008, 18:32

Ah je pense avoir compris ! Comme Ma et CB ortogonaux , donc C et B sont confondu et donc MB=MC. Je vais faire sa et voir ce que sa me donne. Merci beaucoup

par **Dr Neurone** » 17 Jan 2008, 20:34

Remarque : si mes souvenirs sont exacts , quand j'étais petit cette démonstration portait le nom de "puissance d'un point par rapport à un cercle" .Cette expression , encore aujourd'hui , dépasse mon entendement !

par **annick** » 17 Jan 2008, 20:53

Je partage les mêmes souvenirs que toi Dr Neurone. Nostalgie.....nostalgie. Au moins ça permet de cibler la génération à laquelle on appartient. lol

Produit Scalaire egalité de vecteurs - 1S

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