Produit Scalaire : Cocyclicité

[Loubouille]

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur la cocyclicité, mais le problème c'est que nous n'avons pas fait le cours sur ça, donc si quelqu'un pourrait m'aider... Merci d'avance.

1) A,B,C,D sont quatre points d'un cercle C tels que les droites (AB) et (CD) soient sécantes en E.
Justifier que EA.EB=EC.ED (vecteurs)

2) Réciproquement soit deux droites (AB) et (CD) sécantes en E et telles que: EA.EB=EC.ED (vecteurs).
Montrer que les points A,B,C et D sont cocycliques.
Indication: Si le cercle circonscrit à ABC soupe (CD) en D', montrer que D'=D.

Pour la question 1) j'ai mis:

On a E un point quelconque, C un cercle de centre O et de rayon R et une droite sécante au cercle C en deux points A et B
La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EA.EB (vecteurs)= OE²-R²

De plus, on a une autre droite sécante au cercle C au deux points C et D
La puissance de E par rapport au cercle de centre O est alors: EC.ED (vecteurs)= OE²-R²

D'où : EA.EB=EC.ED (vecteurs)

Ma réponse est-elle juste ?

Mais pour la question 2) je n'ai aucune idée

[Ben314]

Pour le 1), c'est OK.

Pour le 2), suit l'indication :
On considère le cercle circonscrit à (ABC).
La droite (CD) coupe évidement ce cercle en C donc elle le recoupe en un deuxième point (éventuellement confondu avec C si la droite est tangente) que l'on note D'.
Que peut tu dire de EC.ED' (en vecteurs) ? [utilise le 1)]
Or ton hypothése est que...

[Souki2]

Bonjour, Je me trouve à avoir ce même problème à résoudre. Si jamais tu as les détails du raisonnement final aux deux questions, ce sera bien apprécié. Merci!

[paquito]

D' vérifie EA.EB=EC.ED', donc EC.ED'=EC.ED, soit EC.DD'=0, or EC,CD et CD' sont colinéaires, d'où DD'=0 et D=D' car l'hypothèse E=C est exclue.