Problèmes Maths SPé TS

[Anonyme]

Bonjour je vous écrit car j'ai un petit problème en math spécialité
c'est un problème sur les congruences...
Je dois montrer que
A=3^(2n)+2^(6n-5) avec n un entier naturel non nul
est un multiple de 11....Je sais bien que le but est d'arriver à

A congru a 0 modulo 11

Mais je ne vois pas comment y parvenir...

Dans le même ordre d'idée je dois montrer que
(2^(2n)-1)(2^(2n+1)+1) est congru a 0 modulo 9 avec n un entier
naturel...
Je pensais montrer que (2^(2n)-1) était congru a 3modulo 9 et de même
pour (2^(2n+1)+1)
Mais je n'y arrive pas le "n" me gêne en fait.......
JE vous remercie d'avance de m'avoir lu et j'espère que vous pourrez
m'aider...

[Anonyme]

"fred" a écrit dans le message de news:
96f88860.0404250059.238c979@posting.google.com...
> Bonjour je vous écrit car j'ai un petit problème en math spécialité
> c'est un problème sur les congruences...
> Je dois montrer que
> A=3^(2n)+2^(6n-5) avec n un entier naturel non nul
> est un multiple de 11....Je sais bien que le but est d'arriver à

En posant n = m - 1, avec m entier naturel (pour éviter les exposants
négatifs), on a
A = 3^(2m+2) + 2^(6m+1) = 9 * 9^m + 2 * (2^6)^m
et 2^6 = 64 congru à 9 modulo 11 ....
même méthode pour l'autre

Daniel

[Anonyme]

> Dans le même ordre d'idée je dois montrer que
> (2^(2n)-1)(2^(2n+1)+1) est congru a 0 modulo 9 avec n un entier
> naturel...
> Je pensais montrer que (2^(2n)-1) était congru a 3modulo 9 et de même
> pour (2^(2n+1)+1)

Bonjour.

Je pense qu'il suffit de montrere par un raisonnement par récurrence que
(2^(2n)-1) et (2^(2n+1)+1) sont des multiples de 3.

Christian

[Anonyme]

> Je dois montrer que
> A=3^(2n)+2^(6n-5) avec n un entier naturel non nul
> est un multiple de 11....Je sais bien que le but est d'arriver à
>
> A congru a 0 modulo 11
>
On écrit que: 3^(2n) = 9^n mod 11
et 2^(6n) = 8^(2n) = (-3)^(2n) = 9^n mod 11
donc 2^(6n-5) = 32*9^n = -9^n mod 11 car 32=-1 mod 11
au total, au a bien A= 0 mod 11, d'où ton résultat!

> Dans le même ordre d'idée je dois montrer que
> (2^(2n)-1)(2^(2n+1)+1) est congru a 0 modulo 9 avec n un entier
> naturel...

on peut réutiliser les mêmes idées, car les congruences sont sympathiques
pour les additions et multiplication (attention, par contre, c'est faux pour
les divisions!)

Sam

[Anonyme]

fred a écrit:
> Bonjour je vous écrit car j'ai un petit problème en math spécialité
> c'est un problème sur les congruences...
> Je dois montrer que
> A=3^(2n)+2^(6n-5) avec n un entier naturel non nul
> est un multiple de 11....Je sais bien que le but est d'arriver à
>
> A congru a 0 modulo 11

Si tu effectues les calculs pour n =1,2,3, tu vois rapidement que à
chaque étape le premier terme de la somme est mutiplié par 9 et le
suivant par 64. Ainsi si tu appelles s(n)=a(n)+b(n), a(n)=3^(2n) et
b(n) =2^(6n-5), et que tu supposes que s(n) s'écrit 11*c(n) (ce qui est
vrai pour n=1, s(1) = 11), il vient :
s(n+1) = 9*a(n) + 64*b(n) dans le quel tu fait apparaître 9*(a(n)+b(n))
soit 99*c(n). Et, surprise, ce qui reste est (64-9)*b(n)... Conclus.
>
> Dans le même ordre d'idée je dois montrer que
> (2^(2n)-1)(2^(2n+1)+1) est congru a 0 modulo 9 avec n un entier
> naturel...
> Je pensais montrer que (2^(2n)-1) était congru a 3modulo 9 et de même
> pour (2^(2n+1)+1)
> Mais je n'y arrive pas le "n" me gêne en fait.......
Si si, la récurrence marche aussi ici :
pour 2^(2n)-1 : supposes que c'est un multiple de 3 (c'est vrai pour
n=1, puisque c'est 3 lui même). Alors, calculons le terme suivant (pour
n+1) : on va trouver 4*2^(2n)-1 donc 4*(2^(2n)-1)+3, qui est donc
multiple de 3 puisque les deux termes de cette somme le sont..
Idem, avec un calcul du même genre, pour l'autre...

[Anonyme]

Le 25 Apr 2004 01:59:31 -0700, fred à écrit
>Bonjour je vous écrit car j'ai un petit problème en math spécialité
>c'est un problème sur les congruences...
>Je dois montrer que
>A=3^(2n)+2^(6n-5) avec n un entier naturel non nul
>est un multiple de 11....Je sais bien que le but est d'arriver à
>
>A congru a 0 modulo 11
>
>Mais je ne vois pas comment y parvenir...
>
>Dans le même ordre d'idée je dois montrer que
>(2^(2n)-1)(2^(2n+1)+1) est congru a 0 modulo 9 avec n un entier
>naturel...
>Je pensais montrer que (2^(2n)-1) était congru a 3modulo 9 et de même
>pour (2^(2n+1)+1)
>Mais je n'y arrive pas le "n" me gêne en fait.......
>JE vous remercie d'avance de m'avoir lu et j'espère que vous pourrez
>m'aider...

Dans tous les exercices de ce type, la méthode est la suivante,
chercher les restes des puissances successives du nombre x modulo y.

x^n = r_n [mod y]

Par exemple tu dois trouver les restes de 3^k modulo 11

3^0 = 1 [mod 11]
3^1 = 3 [mod 11]
3^2 = 9 [mod 11]
3^3 = 5 [mod 11]
3^4 = 4 [mod 11]
3^5 = 1 [mod 11]
3^6 = 3 [mod 11]
etc ...

Tu vois au bout d'un moment que ça boucle, donc les seuls restes
possibles de 3^k modulo 11 sont 1, 3, 9, 5, 4.

De plus le reste est donné par k modulo 5, si k = 5a+r alors

3^(5a) = 1 [mod 11]
3^(5a+1) = 3 [mod 11]
3^(5a+2) = 9 [mod 11]
3^(5a+3) = 5 [mod 11]
3^(5a+4) = 4 [mod 11]

Conclusion pour 3^(2n), le reste dépend de la valeur de 2n modulo 5.

********************

Même méthode pour 2^k modulo 11

2^0 = 1 [mod 11]
2^1 = 2 [mod 11]
2^2 = 4 [mod 11]
2^3 = 8 [mod 11]
2^4 = 5 [mod 11]
2^5 = 10 [mod 11]
2^6 = 9 [mod 11]
2^7 = 7 [mod 11]
2^8 = 3 [mod 11]
2^9 = 6 [mod 11]
2^10 = 1 [mod 11]
2^11 = 2 [mod 11]
etc...

Les seuls restes possibles de 2^k modulo 11 sont 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9,
7, 3, 6

De plus le reste est donné par k modulo 10, si k = 10a+r alors

2^(10a) = 1 [mod 11]
2^(10a+1) = 2 [mod 11]
2^(10a+2) = 4 [mod 11]
2^(10a+3) = 8 [mod 11]
2^(10a+4) = 5 [mod 11]
2^(10a+5) = 10 [mod 11]
2^(10a+6) = 9 [mod 11]
2^(10a+7) = 7 [mod 11]
2^(10a+8) = 3 [mod 11]
2^(10a+9) = 6 [mod 11]

Conclusion pour 2^(6n-5), le reste dépend de la valeur de 6n-5 modulo
10.

******************

Il ne te reste donc qu'à conclure pour 3^(2n) + 2^(6n-5)

prenons n = 5a+b avec b valant 0,1,2,3 ou 4

2n = 10a + 2b = 2b [mod 5]
6n-5 = 30a + 6b - 5 = 6b - 5 [ mod 10] = 6b+5 [mod 10]


Le tableau des restes possibles donne :

b 2b [mod 5] 3^(2n) [mod 11] 6b+5 [mod 10] 2^(6n-5) mod [11]

0 0 1 5 10
1 2 9 1 2
2 4 4 7 7
3 1 3 3 8
4 3 5 9 6


La somme des colonnes 3^(2n) + 2^(6n-5) vaut toujours 11,
b=0 10+1
b=1 9+2
b=2 4+7
b=3 3+8
b=4 5+6

Donc finalement 3^(2n) + 2^(6n-5) = 11 mod [11] = 0 [mod 11]

****************

REM:
ceci est la méthode générale qui marche quel que soit l'exercice. bien
entendu rien n'empêche au départ de simplifier et de tirer parti des
astuces de l'exercice comme c'est indiqué par les autres posteurs.





--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

MERCI BEAUCOUP POUR TOUS VOS POSTS!

J'ai maintenant mieux saisi les congruences grâce à vous!
Merci encore