Problème de suites reelles bac

[babygoodtn]

1) Soit ( Un ) la suite réelle définie par :
U1 ;) ] 0 , 1/2 [ et pour tout n;) IN* , Un+1 = Un ( 1 – Un ).
a) Montrer par recurrence que pour tout n;) IN * ; 0 < Un <1/2 .
b) Montrer que la suite ( Un ) est décroissante.
c) En déduire que (Un) est convergente.
d) Montrer que pour tout n;) IN* , Un < 1/(n+1).
( On pourra utiliser les variations de la fonction f définie sur [0 , 1/2 [ par:
f(x) = x(1- x) ).
e) Trouver alors la limite de la suite ( Un ).
2) Soit ( Vn ) la suite définie par : pour tout n;) IN* , Vn = n Un .
Montrer que la suite ( Vn ) est croissante et qu’elle est convergente.
VOILA jé des problèmes a resoudre 1)d) ainsi que la 2ème kestion
y a t il qq ki peut m aider??????????,,,,

[hellow3]

Salut.

1.d.
L'indication m'a pas beaucoup aidé, j'ai fait par recurence, si ca t'interresse:
si Un<1/n+1
alors, je suis parti de (n+2)U(n+1) et je cherche a montrer que c'est inferieur a 1.
(n+2)U(n+1)=(n+2)Un(1-Un)=(n+1)Un(1-Un) +Un(1-Un)
Comme par hypothese, (n+1)Un<1,
<1*(1-Un) + Un(1-Un)
<(1+Un)(1-Un)
<1²-U²n
<1

2.Tout les Vn>0,
V(n+1)/V(n)=(n+1)U(n+1)/(nUn)=((n+1)/n) (U(n+1)/Un)
=((n+1)/n)(1-Un) (car Un+1=Un(1-Un))
>((n+1)/n)(1-1/(n+1)) (-Un>-1/(n+1) question 1.d.)
>((n+1)/n)((n+1)/(n+1) -1/(n+1))
>((n+1)/n)((n+1-1)/(n+1))
>((n+1)/n)(n/(n+1))
>1
Vn croissante.

Un<1/(n+1), donc Vn=n*Un (Vn) est croissante et majorée, donc convergente.