Probleme de maths: Cylindre dans une demie sphere

[zebatteur]

Bonjour a tous
J'ai un exercice de maths a faire, seulement je bloque a une question
Voici l'ennonce:
Le but de l'exercice est de rechercher le volume maximal d'un cylindre inscrit dans une demi-sphere. unité utilisée: le metre.

On considere un cylindre droit de hauteur h inscrit dans un demi-cercle de rayon R=1.
Le cylindre et la demi-sphere ont meme plan de base P, meme axe de symetrie (Oy) ; la demi-sphere et le cylindre se coupent selon le cercle C de rayon r.
Soit M un point de ce cercle C et H la projection orthogonale de M sur P.
On designe par la mesure en radians de l'angle HÔM, 0<alpha<pi/2.

1- exprimer la hauteur h et le rayon du cylindre en fonction de alpha.

j'ai trouvé h = sin et r = cos.

2- demontrer que le volume du cylindre inscrit dans cette demi-sphere s'eprime a l'aide de alpha par la fonction f definie sur ]0;/2[ par f(alpha) = pi(sin alpha-sin^3alpha)
Je bloque ici

3-a calculer la derivee f' de f.

3-b Montrer qu'il existe une valeur alpha0 de alpha pour laquelle f admet un maximuù et que sin alpha0=V3/3

4- en deduire les dimensions h et r du cylindre de plus grand volume inscrit dans cette demi-sphere et calculer la valeur exacte en m^3 de son volume.


Merci de votre aide

[Ben314]

Salut,
Le volume d'un cylindre, c'est "base x hauteur" c'est à dire "pi x rayon² x hauteur"
De plus, on sait que cos²=1-sin²...

[zebatteur]

Merci, je n'avais pas cette propriete dans mon cours !

[zebatteur]

Bonjour, une autre question, comment je peux passe de 1-3sin²a à 1-(racine de 3)sina ?
Car en faite je devais calculer la dérivée de f(x) et montrer qu'elle est du signe de 1-(racine de 3)sina
Seulement moi j'arrive à la déduction que f(x) est du signe de 1-3sin²a
Je voudrais donc savoir, comment on en arrive à ca avec mon resultat

[paquito]

Bonjour a tous
J'ai un exercice de maths a faire, seulement je bloque a une question
Voici l'ennonce:
Le but de l'exercice est de rechercher le volume maximal d'un cylindre inscrit dans une demi-sphere. unité utilisée: le metre.

On considere un cylindre droit de hauteur h inscrit dans un demi-cercle de rayon R=1.
Le cylindre et la demi-sphere ont meme plan de base P, meme axe de symetrie (Oy) ; la demi-sphere et le cylindre se coupent selon le cercle C de rayon r.
Soit M un point de ce cercle C et H la projection orthogonale de M sur P.
On designe par la mesure en radians de l'angle HÔM, 0<alpha<pi/2.

1- exprimer la hauteur h et le rayon du cylindre en fonction de alpha.

j'ai trouvé h = sin et r = cos.

2- demontrer que le volume du cylindre inscrit dans cette demi-sphere s'eprime a l'aide de alpha par la fonction f definie sur ]0;/2[ par f(alpha) = pi(sin alpha-sin^3alpha)
Je bloque ici

3-a calculer la derivee f' de f.

3-b Montrer qu'il existe une valeur alpha0 de alpha pour laquelle f admet un maximuù et que sin alpha0=V3/3

4- en deduire les dimensions h et r du cylindre de plus grand volume inscrit dans cette demi-sphere et calculer la valeur exacte en m^3 de son volume.


Merci de votre aide

As tu pensé à utiliser la relation cos²= 1-sin²?

[zebatteur]

oui merci ;D, mais maintenant j'ai un autre probleme, celui ecrit juste au dessus ^^

[paquito]

Bonjour, une autre question, comment je peux passe de 1-3sin²a à 1-(racine de 3)sina ?
Car en faite je devais calculer la dérivée de f(x) et montrer qu'elle est du signe de 1-(racine de 3)sina
Seulement moi j'arrive à la déduction que f(x) est du signe de 1-3sin²a
Je voudrais donc savoir, comment on en arrive à ca avec mon resultat

Mais sina>o, donc ta dérivée est du signe de 1-V3sina, ce qui se trouve! (Factorisation évidente)

[zebatteur]

Mais sina>o, donc ta dérivée est du signe de 1-V3sina, ce qui se trouve! (Factorisation évidente)

c'est bizarre, je ne comprend pas comment ?

[paquito]

c'est bizarre, je ne comprend pas comment ?

1-3sin²a est de la forme a²-b² avec a=1 et b=V3sina, donc tu appliques a²-b²=(a+b)(a-b) et tu y verras beaucoup plus clair. Pour le signe de 1-V3sina tu peux utiliser le sens de variation de sin entre 0 et pi/2. J'espère que tu vas t'en sortir maintenant.

[zebatteur]

Merci beaucoup, je viens de comprendre !
il fallait y penser !
D'apres mon tableau de signe, le signe est positif, puis negatif et s'annule en sin(moins1) de 1 sur racine de 3
Vous avez pareil ?

[paquito]

Merci beaucoup, je viens de comprendre !
il fallait y penser !
D'apres mon tableau de signe, le signe est positif, puis negatif et s'annule en sin(moins1) de 1 sur racine de 3
Vous avez pareil ?

Tout à fait, la dérivée s'annule pour l'unique réel de 0 à pi/2 qui vérifié sin(a)= 1/v3=V3/3. le tableau de variation est bon et on obtient le maximun en remplaçant sina par V3/3 et en tenant compte de cos²a= 1-sin² a avec cos a>0. Bravo pour ta persévérance.

[zebatteur]

Bonjour a tous
Dans un DM de maths, je bloque a le 5eme question, qui est une demonstration par recurrence:
"Demontrer que pour tout nombre entier n>1, Sn=1:(n+1) + 1:(n+2)+...+1:(2n)
Sachant que j'ai deja fait tout le depart, dont l’initialisation, mais je bloque a l'hereditée
Comment-dois je faire ?
Merci a vous

[paquito]

Bonjour a tous
Dans un DM de maths, je bloque a le 5eme question, qui est une demonstration par recurrence:
"Demontrer que pour tout nombre entier n>1, Sn=1:(n+1) + 1:(n+2)+...+1:(2n)
Sachant que j'ai deja fait tout le depart, dont l’initialisation, mais je bloque a l'hereditée
Comment-dois je faire ?
Merci a vous

Je ne vois pas ce que tu dois démontrer; peux tu expliciter un peu plus l'énoncé. Merci.

[zebatteur]

Je ne vois pas ce que tu dois démontrer; peux tu expliciter un peu plus l'énoncé. Merci.

Voici un lien de l'enoncé, question 2)a) j'espere que ca vous aidera: http://www.noelshack.com/2014-12-1395489466-20140322-125402-1.jpg

[paquito]

f(x)=1/x donc Sn=(1/n)(1/(1+1/n)+......+1/(1/(1+k/n))+.....1/(1/(1+n/n)=

(1/n)(n/(n+1)+........+n/(n+k)+.......n/2n)=1/(n+1)+.........+1(n+k)+....+1/2n. Calcul de fractions!

[zebatteur]

Bonjour, je n'ai pas compris ce que tu as fait ? d'ou es-tu parti ?

[paquito]

Bonjour, je n'ai pas compris ce que tu as fait ? d'ou es-tu parti ?

Je suis parti de la défition Somme de 1 à n de 1/n(f(1+k/n) et j'ai modifié l'expression de f(1+k/n)=

1/(1+k/n)=1/( (n+k)/n)=n/(n+k) et il y a une simplification par n pour avoir le résultat (rien de méchant).

[zebatteur]

Je suis parti de la défition Somme de 1 à n de 1/n(f(1+k/n) et j'ai modifié l'expression de f(1+k/n)=

1/(1+k/n)=1/( (n+k)/n)=n/(n+k) et il y a une simplification par n pour avoir le résultat (rien de méchant).

Ah, pas bete !! Merci,k
et concernant la question ou il faut prouver que la suite est croissante, on fait Sn+1 - Sn ? car quand je fait ca, je tombe sur un resulatst negatif...

[paquito]

Tu as S(n+1)=1/(n+2)+.....+1/(2n+2).
Sn=1/(n+1)+...+1/2n, donc S(n+1)-Sn=1/(2n+2)+1/(2n+1)-1/(n+1)=
(n+1)/((2n+2)(2n+1)(n+1)>0 donc (Un) croît. Attention, S(n+1) contient (n+1) termes!

De plus, tu as Sn =1/(n+1)+1/(n+2)+ .....+1/2n; le plus grand terme est 1/(n+1), donc
Sn=

[paquito]

En fait, on applique la méthode des rectangles; fais une figure et tu verras que sur (1+k/n; 1+(k+1)n), le rectangle est en dessous de la courbe y=1/x d'où Sn=
Si tu prend S'n= 1/n+1/(n+1)+ .......+1/(2n-1) tu as les rectangles supérieurs et donc
S'n>=int(1; 2)(1/x)dx.

Mais S'n=Sn+1/n-1/2n=1/2n, ce qui te permet de finir ton problème pas si facile que ça!