Probleme intersection de 2 fonction

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bonjour, j'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour un exercice que m'a donné mon prof de math, voici l'ennoncé:

soit P la courbe d'équation y=x²+1 et Dk la droite d'equation y=kx (k étant un réel)

determiner suivant les valeurs de k le nombre d'intersection de P et Dk.

je sais que pour que P et Dk se coupe en un point il faut que x²+1=kx mais je ne vois pas ensuite comment determiner le nombre d'intersection qu'il peut y avoir?? il y en une infinité non?

[L.A.]

Bonsoir,

y=x²+1 est une parabole, y=kx est une droite.

Le nombre d'intersections est soit 2, soit 1 ("tangence") soit 0.

on peut le retrouver en posant une équation...

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mais ce qui me gene c'est qu'il y a deux inconnus, ici x et k. suivant que k et x soit de meme signe ou de sens contraire je n'obtiendrais pas la meme chose non?

[L.A.]

k n'est pas une inconnue mais un paramètre.

On fixe une valeur de k dans IR, ce qui fixe une droite y=kx.

à partir de là, le problème est de trouver l'intersection de cette droite avec la parabole, et si elle est non vide, les valeurs de x correspondantes.

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je dois donc trouver une valeur de k en x ?
si j'essai de resoudre mon equation x²+1= kx
j'obtiens k= x + 1/x mais ça ne me sert pas à grand chose, je sais juste que si elles se croisent ce ne sera pas en zero puisque j'ai 1/x

[L.A.]

mais non voyons ! :hum:

k est fixé, ce n'est pas une inconnue.

pour commencer, pose par exemple k= 10 et résout ton exercice. on reviendra sur le cas du k ensuite.

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tu me demande juste de resoudre l'equation x²+1=10x c'est ça hein? en tout cas en representation graphique je sais que ça se coupe deux fois par contre en calcul j'arrive meme pas a trouver un x1= et x2=

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voila j'ai reussi: don j'obtiens (x²+1+10x)/x=0
le resultat est nul donc le numerateur est nul
j'ai un trinome au numerateur donc je cherche le descriminant je fais 10²- 4*1*1=96 donc le descriminant c'est racine de 96, c'est positif donc j'ai mes droites se coupent en deux point x1= (-10-racine de 96)/ 2 x2= ( -10 + racine de 96)/2

voila j'ai resolu pour k=10 mais a quoi ça m'a servi?

[L.A.]

Rebonjour,

d'abord ton équation est fausse : x² + 1 - 10x = 0
(et pas d'intérêt de diviser par x !!)

maintenant que tu l'as fais avec k=10, tu as deux choix :

¤ soit tu le refais avec k=0, k=1, k=1/2, ... et pareil pour chaque réel (ça te prendra une éternité d'éternités.)
¤ soit tu n'as pas le temps de le faire, alors tu laisses le paramètre sous forme k et tu résouds (si tu sais le faire pour la valeur du paramètre =10, alors tu sauras le faire pour la valeur =k)
tu obtient un trinôme dont un coefficient dépend de k, et qui admet 0,1 ou 2 racines (selon la valeur de k), ces racines dépendant elles même de k.

Tu saisis mieux le rôle de k maintenant ?

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c'est bon j'ai compris,
même si je garde k j'obtiens x²-kx+1=0 je peux calculer le discriminant ce qui fais (-k)² - 4*1*1= k² - 4
donc si mon discriminant est nul: (-k)²=4 d'ou k=2 ou k= -2 je sais donc que si k=2 ou -2 j'ai une intersection avec la courbe
si maintenant mon discriminant est positif c'est à dire superieur à zero alors il faut que (-k)² soit superieur à 4 d'ou il faut que k soit compris entre ] -l'infini ; -2 [ U ] 2 ; +l'infini [. j'ai donc deux intersections avec ma courbe pour ces valeurs de k.
En revanche si mon discriminant est négatif et donc qu'il n'y est pas d'intersection avec la courbe il faut que (-k)² soit inferieur à 4 soit pour k compris dans l'intervalle ] -2 ; 2 [

j'ai tout bon non?? :we:

[L.A.]

Tout m'a l'air très convenable.

Une seule chose me gêne un peu, mais ce n'est pas grave du tout ; je voyais plutôt le problème dans l'autre sens :

Pour moi, on se donne une valeur de k, ce qui fixe une pente pour la droite (quand k varie dans R, la droite balaye tous les angles possibles, sauf la droite verticale qui correspondrait à k=infini), et on calcule delta et les solutions pour ce k, ce qui correspond aux abscisses des intersections entre droite et parabole.

Toi tu supposes d'abord qu'il y a 0, 1 ou 2 solutions, ce qui donne une condition sur delta, qui permet d'accéder à la plage des k correspondants.

Revois bien l'énoncé, pour rédiger dans le bon sens.