Probléme de fonctions

[math0889]

bonjour à tous j'ai un dm de math et le probléme sur les fonctions je n'arrive pas du tout :mur: j'aurai besoin de votre aide Voici l'énoncé de l'exo:
Soit f la fonction définie sur R/{-1;3} par f(x)=(2xpuissance 3-3x²)/(x²-2x-3) et Y sa courbe représentative dans un repére (0,i,j)
1.Etudier le signe de f'(x)=(2x(x-1)(x²-3x-9))/(x²-2x-3)² suivant les valeurs de x.
2.Etdier le sens de variation de la fonction f sur R/{-1;3}
3.Dresser le tableau des variations
4.déterminer les réels a,b,cet d tels que f(x)=ax+b+(c/(x+1))+(d/(x-3))
5.Etudier le signe de f(x)-(ax+b) avec a et b trouvé au 4. Que peut on en déduire sur le graphique entre Y et y=2x+1?
6.Déterminer l'équation de la tangente à Y au point d'abscisse 2.

Voila si vous pouviez m'aider ca serai bien merci d'avance

[yvelines78]

bonjour,
1)
f'(x)=2x(x-1)(x²-3x-9)/(x²-2x-3)²

2x est positif pour {0; + l'infini}
x-1>à quand x>1 pour {1; +l'infini}
x²-3x-9, delta = 45 admet pour racines x=(3+3V5)/2 et x=(3-3V5)/2, négatif pour{(3-3V5)/2;(3+3V5)/2 } et positiftif à l'extérieur des racines
x²-2x-3)² toujours positif
f''(x) est négatif pour{3-3V5/2; 0} et {1; 3+3V5/2} est positif pour {- l'infini; 3-V5/2] , {0; 1}et{3+3V5/2; + l'infini }
la fonction f(x) n'est pas définie pour x=-1 et x=3
elle est décroissante sur {-1; 0}, {1; 3+3V5/2} et croissante sur {0; 1}


4)
f(x)=ax+b+c/x+1+d/x-3
f(x)=[(ax+b)(x+1)(x-3)+c(x-3)+d(x+1)]/(x+1)(x-3)

f(x)=(ax²+bx+ax+b)(x-3)+cx-3c+dx+d)/x²-2x-3

donc ax^3+bx²+ax²+bx-3ax²-3bx-3ax-3b+cx-3c+dx+d=2x^3-3x²
ax^3+x²(b+a-3a)+x(b-3b-3a+c+d)+(-3b-3c+d)=2x^3-3x²

a=2
b-2a=-3, b=-3+2*2=+1
-2b-3a+c+d=0, -2-6+c+d=0, 8=c+d (1)
-3b-3c+d=0, -3-3c+d=0, -3c+d=3 (2)
d'après (1) c=d-8, remplaçons dans (2) -3(d-8)+d=3
-3d+24+d=3
2d=24-3=21 et d=21/2 et c=5/2

f(x)=2x+1+2.5/(x+1)+10.5/(x-3)