Problème de compréhension d'un énoncé (exponentielles)

[Azazeal59]

Bonjour à tous !
Voila, j'ai un problème de mathématiques (type Bac) que j'ai beaucoup de mal à comprendre, c'est agaçant... (je suis en terminale ES)
Pourriez vous me donner un petit coup de main ?
Je vous recopie l'énoncé avant de vous exposer mes hypothèses et le travail que j'ai déjà fourni :

"On considère la fonction f définie sur ]0;+;)[ par : f(x) = (e^x)-lnx
et la fonction g définie sur R par g(x) = (xe^x)-1

1° a) Étudier les variations de g sur R
b) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique dans [-1;1].
Donner une valeur arrondie de à 0.1 près.
En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.


Voila, c'est la premiere partie du problème.
Pour la 1° a) j'ai fait ceci :

g(x) = (xe^x)-1
La fonction g est définie sur R donc

Lim g(x) (en -infini) = -1
Lim g(x) (en +infini) = +infini

g'(x)=(xe^x)+(e^x)

Je me suis arrété ici, ne voyant pas quoi faire avec la dérivée ni comment trouver le tableau de variation à partir de ça. Je me suis dit qu'il ne fallait que étudier les limites pour cette question, mais je n'en suis pas sur.


1° b)
Je ne comprend pas ce que veut dire l'énoncé par g(x)=0
ils veulent dire que la fonction est égale à 0 ou bien "(xe^x)-1 = 0" ?
dans ce cas là j'arrive à
(xe^x)-1 = 0
(xe^x) = -1
x = -1/e^x

Je ne suis pas sur de comprendre...
Pourriez vous m'aider ?

Merci d'avance !

[delphine85]

Pour 1 a), il faut que tu trouves le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction g!

tu as bien:
g'(x)=(xe^x)+(e^x)

maintenant tu peux mettre e^x en facteur et regarder quand est ce que ça s'annule!

[Azazeal59]

D'accord !

En mettant (e^x) en facteur, cela me donnerai donc

(e^x)(x+1) est ce bien cela ?

Mais dans ce cas là, ça ne me dit pas quand ça s'annule... ?

[delphine85]

un produit est nul si et seulement l'un de ses facteurs est nul!!!!!

[Azazeal59]

J'ai du mal à vous suivre sur ce coup.. =/
(excusez moi, je ne suis pas très doué...)

[delphine85]

Au collège tu as appris une propriété qui dit:
Si A*B=0 alors A=0 ou B=0

il faut que tu l'appliques à (e^x)(x+1)

[Azazeal59]

aaah oui !
(e^x)(x+1)
si e^x=0 alors x vaut euh.. ?
si x+1=0 alors x = -1

C'est comme ça qu'il faut procéder ?
(par contre si e^x=0 alors x vaut combien ? Etant donné que ce n'est ni 0 ni 1 ?)

[delphine85]

oui c'est comme ça!

pour e^x, fais quelques recherches sur la fonction exponentielle et tu comprendras pourquoi tu ne trouves pas de solutions :id:

[Azazeal59]

oh, ce n'est pas parce que e est défini sur R* par hasard ?

[delphine85]

et oui! e^x =0 n'a pas de solution, donc il n'y a que (x+1)=0 !
c'est bon pour le reste?

[Azazeal59]

Je pense

Bon je vais récapituler, pour etre sûr !

1° a)
g(x) = (xe^x)-1
La fonction g est définie sur R donc

Lim g(x) (en -infini) = -1
Lim g(x) (en +infini) = +infini

g'(x)=(xe^x)+(e^x)
donc g'(x)=(e^x)(x+1)
si x+1=0 alors x = -1
si e^x=0 alors x n'a pas de solution

Je dois maintenant faire le tableau de variation c'est bien ça ?
Avec sur la premiere ligne -infini, -1, et +infini
sur la seconde ligne décroissant de -infini à -1 puis croissant de -1 à +infini et de même pour ma troisième ligne.

J'ai bien compris ?

[delphine85]

sur ta deuxième ligne, normalement tu dois mettre le signe de la dérivée :
donc négatif entre -Inf et-1 et positif entre -1 et +Inf, et c'est seulement sur la 3ème ligne que tu mets décroissant puis croissant!

[Azazeal59]

Uh oui désolé, je me suis embrouillé dans les termes. :briques:
En tout cas, merci beaucoup ! :happy2:

Pour la suite, le 1° b), j'ai fait ceci, qu'en pensez vous ?

g(x) = 0
(xe^x)-1 = 0
xe^x = -1
x = -1/e^x
Donc x admet une seule solution que l'on marquera ;)

D'après le tableau de valeurs donné par la calculatrice, lorsque x vaut 0.6, g(x)=0.0932.

est donc environ égal à 0.6

Donc, lorsque x est positif, g(x) est positif et lorsque x est négatif, g(x) l'est aussi.

[delphine85]

Non, c'est pas comme ça. ce que tu as fais ne montre en rien qu'il y a qu'une solution.

Il faut que tu utilises ton tableau de variation.
Et le fait qu'entre -1 et 1 ta fonction est strictement croissante.
et vérifies que g(-1)<0 et que g(1)>0. donc forcément qu'une solution à g(x)=0.

je vais essayer de te trouver une meilleure explication

[delphine85]

Théorème de bijection : Soit f une fonction dérivable (donc continue) et strictement monotone sur un intervalle
I = [a ; b]. Pour tout réel lambda intermédiaire entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c appartient à I tel que f(c) = lambda.
(Autrement dit : l'équation f(x) = lambda admet une et une seule solution dans I)

[Azazeal59]

Merci beaucoup
N'ayant cependant pas encore vu le théorème de bijection en cours, je ne préfère pas l'énoncer.
J'argumenterai donc grace au tableau devariation et grace au fait que g(x) est strictement croissante sur ]-1;1[ .
:id:

[Sylviel]

J'argumenterai donc grace au tableau devariation et grace au fait que g(x) est strictement croissante sur ]-1;1[ .

Ce qui revient au "théorème de bijection", sauf que tu ne mentionnes pas ici le fait que la fonction est continue.