Probleme avec la methode cardan

[MissMathsCarca]

voici mon enoncé:
soit l'équation g(x)=x^3-15x-4

démontrer que si u^3 et v^3 existe alors ils sont solutions de l'équation
X²-4X+125=0

sachant que precedament il a fallut prouver que (u+v) était une solution a l'équation g(x) si u^3+v^3=4 et uv=5


voila je ne comprends pas comment faire sans passé par le discriminant je pense qu'il faut la methode de Cardan mais je ne l'ai pas vraiment comprise non plus ^^
merci d'avance

[Sa Majesté]

La méthode consiste à remplacer x par u+v
On peut alors choisir le produit uv arbitrairement
x^3-15x-4=0
(u+v)^3-15(u+v)-4=0
On développe (u+v)^3 sous la forme u^3+v^3+3uv(u+v)
u^3+v^3+(3uv-15)(u+v)-4=0
Comme on peut choisir uv arbitrairement, on le choisit de telle sorte qu'il annule 3uv-15, soit uv=5
Il reste u^3+v^3-4=0
Ensuite on remplace v par 5/u, et on multiplie tout par u^3
(u^3)²+5^3-4u^3=0
u^3 est donc solution de X²-4X+125=0