Probleme avec equation differentielle

[Mariie04]

Bonsoir a tous, je viens demander l'aide des mathématiciens présents afin de m'aider a résoudre un problème de calcul intégrale impliquant une équation différentielle puisque j'ai un examen dans quelques jours et que je tiens absolument a comprendre les exercices donnés par mon professeur en révision.

Donc voila le problème:
Un réservoir cylindrique de 55 cm de rayon et de 1,5 mètres de hauteur est rempli d'eau. Une petite valve de 6 mm de rayon, située a la base du réservoir, est ouverte au temps t=0.

La hauteur du niveau de l'eau dans le réservoir dépend du temps écoulé en secondes. Cette hauteur, donnée par la fonction h(t), est régie par l'équation différentielle:




Ou g= 9,8 m/s2 désigne la constante de gravitation terrestre, R désigne le rayon du réservoir et r, celui de la valve.

a) Apres combien de temps, suite a l'ouverture de la valve, le réservoir sera-t-il vidé ? La réponse doit etre exprimée en heures, minutes, secondes.

b) Une heure apres l'ouverture de la valve, combien reste-t-il de litres d'eau dans le réservoir ?

Je sais qu'il s'agit de trouver l'intégrale de l'équation ci-dessus, et qu'il s,agit d'une équation differentielle avec la condition initiale suivante: h(0)= 1,5 m, mais je ne saisi vraiment pas comment résoudre ce problème.

J'espere que vous pourrez m'aider, merci beaucoup d'avance

[chan79]

Bonjour
une primitive de est

[mrif]

Bonsoir a tous, je viens demander l'aide des mathématiciens présents afin de m'aider a résoudre un problème de calcul intégrale impliquant une équation différentielle puisque j'ai un examen dans quelques jours et que je tiens absolument a comprendre les exercices donnés par mon professeur en révision.

Donc voila le problème:
Un réservoir cylindrique de 55 cm de rayon et de 1,5 mètres de hauteur est rempli d'eau. Une petite valve de 6 mm de rayon, située a la base du réservoir, est ouverte au temps t=0.

La hauteur du niveau de l'eau dans le réservoir dépend du temps écoulé en secondes. Cette hauteur, donnée par la fonction h(t), est régie par l'équation différentielle:




Ou g= 9,8 m/s2 désigne la constante de gravitation terrestre, R désigne le rayon du réservoir et r, celui de la valve.

a) Apres combien de temps, suite a l'ouverture de la valve, le réservoir sera-t-il vidé ? La réponse doit etre exprimée en heures, minutes, secondes.

b) Une heure apres l'ouverture de la valve, combien reste-t-il de litres d'eau dans le réservoir ?

Je sais qu'il s'agit de trouver l'intégrale de l'équation ci-dessus, et qu'il s,agit d'une équation differentielle avec la condition initiale suivante: h(0)= 1,5 m, mais je ne saisi vraiment pas comment résoudre ce problème.

J'espere que vous pourrez m'aider, merci beaucoup d'avance

Tu sépares les variables en ecrivant l'équation sous cette forme:

Ensuite tu integres les 2 membres:

On détermine C en utilisant la condition initiale: en t = 0, h = 1,5: .

Tu pourras continuer avec ces indications et si tu bloques tu reviens

Edit:
Comme l'a signalé chan79 dans le message suivant, on passe à h(t) en élevant au carré et non pas en prenant la racine carrée:

[chan79]

Tu pourras continuer avec ces indications et si tu bloques tu reviens

Elever au carré au lieu de mettre une grande racine

[mrif]

Elever au carré au lieu de mettre une grande racine

Merci chan79 d'avoir relevé l'erreur