Equation différentielle qui se montre méchante avec moi ^^

[Capucinae]

Bonjour à tous !

J'ai un exercice à faire pour bientôt et je bloque dès le début... Pourriez-vous m'aider svp ?

En voici l'énoncé (enfin le début : il est inutile que j'en mette davantage puisque je bloque dès le début) :

On admet que la fonction q est solution de l'équation différentielle
(E) 4y' + y = -0.002t + 2.992
où y est une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [0;1440] et y' sa dérivée.

Les premières questions :

1) a) Résoudre l'équation (E[sub]0[/sub]) 4y' - y = 0 sur [0;1440]
b) Déterminer a et b tels que g définie sur [0;1440] par g(t)=at+b soit une solution particulière de l'équation (E).

Et mes débuts de réponse :

1) a) J'ai tout mis du même côté et j'obtiens f(x)= C e[sup]-(1/4)x[/sup]
b) Alors là, je commence à avoir du mal. Voici ce que j'ai écrit, merci de me dire où je me suis trompée et de m'expliquer :
g(t) solution particulière de (E)
équivaut à g'(t) = -(0.002/4)t + (2.992/4) - ( g(t) / 4 )
Je dérive g et obtiens g'(t) = a

Je remplace dans l'équation du début et j'obtiens :
g'(t) = (-0.002/4)t + (2.992/4) - (at+b / 4)
g'(t) = [ - (0.002 + a) t + (2.992 - b) ] / 4

Donc, par identification,
a = [ - (0.002 + a) t + (2.992 - b) ] / 4

Et à partir de là je bloque car je me perds entre a et b... et en plus ce que je trouve me semble bizarre...

Que pensez-vous de ce début ? Où ai-je faux ?

Merci par avance
Bonne journée à tous !

[maturin]

alors 1) c'est bon
2) tu as le bon début mais tu te complexifies un peu la vie à tout mettre du meme coté
4y'+y=-0.002t+2.992

g(t)=at+b solution de l'équation si pour tout t tu as
4g'(t)+g(t)=-0.002t+2.992

soit:
4a+at+b=-0.002t+2992

pour qu'un polynome a+bx+cx²+dx3+... soit égal à 0 quel que soit x, il faut que tout ses coef a,b,c,d... soient nul. Dont tu déduis que deux polynomes sont égaux si et seulement si leur coef sont égaux.

donc dans notre cas il faut que
4a+b=2.992
et a=-0.002

[Capucinae]

J'ai fini par trouver a = - 0.002 et b = 3
Merci !

Et je bloque désormais à la question suivante :'(
1) c) Soit h une fonction définir et dérivable sur I. Démontrer que h est solution de (E) équivaut à (h-g) est solution de (E0)
d) En déduire l'ensemble des solutions de (E)

Et je ne vois pas du tout comment faire...
J'ai tout d'abord pensé remplacer y par h-g dans l'équation de départ mais je parviens à des valeurs bizarres et je bloque après de toute façon...

Quand à la d, je suppose qu'il faudra donner une réponse du genre m(x)=Ce^ -ax...

Mais en attendant, je suis bloquée

Comment faire ?

Merci par avance !

[Capucinae]

Personne ne peut m'aider ?

Merci par avance !

[annick]

Bonjour,
Si h est solution de (E), alors, h vérifie (E), ce qui te donne ...
g est solution de (E), donc g vérifie (E), ce qui te donne ...
Si maintenant tu égalises ce qui est possible et que tu organises un peu tout ça, tu dois tomber sur (E0)
tu connais ensuite la solution de (E0) et tu connais g, donc tu peux en déduire la solution générale h

[Ben314]

Bonour,
Juste une petite remarque concernant ton premier post :
l'équa. diff c'est 4y'+y=... ou bien 4y'-y=...
(tu as écrit une fois l'un une fois l'autre...)

[Capucinae]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire :hein:

Parce que j'écris donc :
- h solution de (E)
équivaut à 4 h'(x) + h(x) = -0.002 + 2.992
- g solution de (E)
équivaut à 4 g'(x) + g(x) = -0.002 + 2.992
équivait à 4a + at + b = -0.002 + 2.992

Mais ensuite je ne vois pas comment je dois continuer... Je bloque vraiment :doh:

Merci par avance :)

[Ben314]

... 4 h'(x) + h(x) = -0.002 + 2.992 ...
... 4a + at + b = -0.002 + 2.992 ...

Où sont passés les 't' qui étaient à droite ?

[Capucinae]

Je les ai oublié en les copiant ^^

J'ai donc :
4 h'(x) + h(x) = -0.002t + 2.992
4a + at + b = -0.002t + 2.992

et je sais que a = - 0.002 et b = 3

Voici toutes les informations dont je bénéficie...
Et je ne vois pas comment m'en sortir à partir de là O_o

Merci par avance !

[Ben314]

Dans cette question 1)c), tu n'as pas besoin d'utiliser las valeurs de a et b ni même la formule qui donne g :
Ecrit juste (comme tu l'as déja fait) les équations vérifiées par h et g puis... fait la soustraction entre les deux.

[Capucinae]

Donc :

4 h'(x) + h(x) = -0.002t + 2.992
4 g'(x) + g(x) = -0.002t + 2.992

Je soustrais les deux et j'obtiens :
4 h'(x) + h(x) - 4 g'(x) + g(x) = 0

Et ensuite, je ne vois pas quoi faire...
Je suis censée retomber sur (E0) donc je fais 4 ( h'(x) - g'(x) ) + h(x) + g(x) = 0 ?

Mais ensuite, je ne vois pas du tout...

Merci pour ton aide :)

[Ben314]

... j'obtiens :
4 h'(x) + h(x) - 4 g'(x) + g(x) = 0
Je suis censée retomber sur (E0)...

ben moi, il me semble que tu as obtenu.... (E0) (pour la fonction h-g) !!!!
(modulo une erreur de signe dans la soustraction...)

[Capucinae]

Bah c'est pas :
4 h'(x) + h(x) - ( 4 g'(x) + g(x) ) = 0
donc 4 h'(x) + h(x) - 4 g'(x) - g(x) = 0

?

Et pourquoi dis-tu qu'on retombe sur (E0)... Puisque que (Eo) est 4y' + y = 0 ? La fonction h-g équivaudrait à y, c'est cela ?

Et ensuite comment je fais ? :hein:

Merci :)

[Ben314]

Puisque que (Eo) est 4y' + y = 0 ?
La fonction h-g équivaudrait à y, c'est cela ?

Je ne dirait pas qu'elle "équivaut" à y (mais c'est uniquement un problème de français...),
je dirait simplement que la question était :
"Montrer que la fonction h-g vérifie (E0)"
et que, comme tu as montré que 4(h-g)'+(h-g)=0, c'est que.... tu as répondu à la question.

P.S. En fait non, tu n'as pas complètement répondu car la question est "montrer que... équivaut à ..." donc il faut aussi montrer que "ça marche dans l'autre sens"

[Capucinae]

Et comment tu montres que ça fonctionne dans l'autre sens ?
En remplaçant les y par h-g, c'est bien cela ?

Merci :D