Probleme 1éreS avec fonction polynôme

[Anonyme]

bonjour tout le monde.
on s'interesse au problème suivant: existe -il une formule qui permette de calculer la somme S1(n) = 1 + 2 + 3 +.....+n explicitement en fonction de n ?
L'idée de départ est la suvante:
trouver une fonction polynôme P telle que pour tout entier naturel non nul n,
P(n)= S1(n)
je bloque à la première question seulement:

a) Vérifiez que si cette fonction polynôme existe alors P(n) - P(n-1) = n

merci d'avance.

[Chimerade]

bonjour tout le monde.
on s'interesse au problème suivant: existe -il une formule qui permette de calculer la somme S1(n) = 1 + 2 + 3 +.....+n explicitement en fonction de n ?
L'idée de départ est la suvante:
trouver une fonction polynôme P telle que pour tout entier naturel non nul n,
P(n)= S1(n)
je bloque à la première question seulement:

a) Vérifiez que si cette fonction polynôme existe alors P(n) - P(n-1) = n

merci d'avance.

Supposons que P(n) existe !
Alors P(n)=S1(n) et P(n-1)=S1(n-1), donc P(n)-P(n-1)=S1(n)-S1(n-1)

Or S1(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + .....+ (n-1) + n
et S1(n-1)= 1 + 2 + 3 + 4 + .....+ (n-1)

Par soustraction, on a immédiatement : S1(n)-S1(n-1) = n !
Et donc P(n)-P(n-1)= n !
Bon courage pour la suite !