Probabilités

[maxnihilist]

Bonjour,

J'ai un exercice de proba ci-dessous et je vous demande confirmation concernant mes réponses et sur la rédaction qui est extrêmement mal fichue:

En temps normal, une machine produit des objets en séquence (objets sont indépendants) qui peuvent être défectueux avec une probabilité de 0.01.
Il est possible cependant que la machine développe un processus de "mémoire": après chaque objet défectueux - et indépendamment de ce qu'il s'est passé avant - la probabilité que le prochain objet soit défectueux est de 2/5. Après chaque objet sans défaut, la probabilité que l'objet suivant soit sans défaut est de 1/165.
Notons B l'événement : la machine fonctionne normalement. Supposons que P(B) = 2/3.
Notons Di l'événement : le i-ème objet est défectueux. Supposons D1 indépendant de B.

1/ Prouvez que P(Di) = 0.01 pour tout i.

Pour i = 1, la machine n'a pas pu développer de mémoire puisqu'il s'agit du premier objet, nous sommes donc en "temps normal" et P(D1) = 0.01

Pour i > 1, on calcule P(Di) à l'aide des probabilités totales :
Je pose Bc = événement complémentaire de B (1-B).

P(Di) = P(B) * P(Di sachant B) + P(Bc) * P(Di sachant Bc)
P(B) * P(Di sachant B) = P(B inter Di sachant B) = 2/3 * 0.01 = 0.00666 puisque Di est indépendant de B

P(Bc) * P(Di sachant Bc) = (1/3) * [ P(Di sachant Di-1) + P(Di sachant Dc i-1) ]
P(Bc) * P(Di sachant Bc) = (1/3) * [ 0.01 * 2/5 + 0.99 * 1/165 ] = 0.00333

D'où P(Di) = 0.00666 + 0.00333 = 0.01

2/ Nous observons une séquence de 6 objets, et l'on pose E l'événement :
Calculez P(B sachant E).

J'utilise la formule de Bayes :
P(B sachant E) = [ P(B) * P(E sachant B) ] / P(E)

La première question on a montré que P(Di) = 0.01 pour tout i, j'obtiens donc
P(E) = 0.99 * 0.99 * 0.01 * 0.01 * 0.99 *0.99 = 9.605e-3
P(E sachant B) = (2/3) * 0.99 * 0.99 * 0.01 * 0.01 * 0.99 *0.99 par indépendance des D entre eux et de D1 et B

Ce qui nous donne P(B sachant E) = (2/3) ^2 = 0.44

Merci.

[maxnihilist]

Petit up..

[Pseuda]

Ce n'est pas clair. Quel est le lien entre l'événement B : "la machine fonctionne normalement", et l'événement Di : "le i-ème objet est défectueux" ? En effet, il est dit : "Supposons D1 indépendant de B".

Dans ce cas, la probabilité de Di sachant B et la probabilité de Di sont les mêmes, et d'après l'énoncé, tu n'as pas besoin de te référer à l'événement B pour calculer p(Di).

De plus, il est dit : "Après chaque objet sans défaut, la probabilité que l'objet suivant soit sans défaut est de 1/165.". Cela fait une probabilité de 164/165 que l'objet suivant ait un défaut. C'est beaucoup pour prouver que p(Di)=0,01.

[maxnihilist]

Bonsoir,

Je vous copie/colle à la fin de mon post l'énoncé de l'exercice (qui est en anglais).

Je réécris la situation (au mieux je l'espère) en français. Il y a deux possibilités:
Cas 1: la machine fonctionne normalement et produit des objets indépendamment les uns, les autres, avec une probabilité de 0.01 de produire un élément défectueux. Ce cas de figure arrive avec une probabilité de 2/3.

Cas 2: la machine génère un processus de mémoire. Si un objet correct est conçu, il y a une probabilité de 1/165 que le prochain objet soit défectueux. En revanche, si un objet est défectueux, il y a une probabilité de 2/5 que le prochain objet le soit aussi.
La mémoire ne s'applique donc qu'uniquement en fonction de l'objet précédent.

D1 est indépendant de B. Je pense que cela sous-entend que D1 = 0.01 quelque soit le cas (cas 1, c'est évident, et cas 2, la machine n'a de toute façon pas eu de processus de mémoire vu qu'il s'agit du premier objet, nous sommes donc ramené au cas 1)

Je tiens à corriger mes réponses. A la première question, il est plus intéressant de procéder par récurrence:
Pour i=1, Di = 0.01 quelque soit les cas, pour les raisons évoquées ci-dessus.
Supposons Di = 0.01, est-ce toujours vrai pour Di+1 ?

Je pose Bc = le complémentaire de B.
P(Di+1) = P(Di+1|B)P(B) + P(Di+1|Bc)P(Bc) par les probabilités totales

Je commence par P(Di+1|B):
Nous sommes dans le premier cas, il est précisé que les objets sont produits de manière indépendantes et que la probabilité qu'un objet soit défectueux est de 0.01 quelque soit i.
D'où P(Di+1|B)=0.01

Maintenant, P(Di+1|Bc):
J'utilise une nouvelle fois les probabilités totales:
P(Di+1|Bc)=P(Di+1|Di)P(Di)+P(Di+1|Dic)P(Dic) = 2/5 * 0.01 + 1/165 *0.99 = 0.01 (en ayant utilisé l'hypothèse de récurrence P(Di=0.01)

D'où:
P(Di+1)=0.01*2/3 + 0.01*1/3 = 0.01
Donc P(Di+1) est vraie.

Question 2:
J'utilise la formule de Bayes:
P(B/E) = P(B)*P(E/B) / P(E)

P(E/B) est rapide et se déduit de la question 1 puisque nous sommes dans le cas 1, les objets sont produits indépendamment.
P(E/B) = 0.99*0.99*0.01*0.01*0.99*0.99

P(E) = P(E/B)P(B)+P(E/Bc)P(Bc) probabilités totales
Pour calculer P(E/Bc), il suffit de faire un arbre pour décrire la situation du cas 2, ce qui nous donne:
P(D1c)*P(D2c/D1c)*P(D3/D2c)*P(D4/D3)*P(D5c/D4)*P(D6c/D5c) = 0.99*164/165*1/165*2/5*3/5*164/165

et donc
P(B/E) = 0.11898

Ce résultat parait - je pense - cohérent, vu qu'il y a une faible probabilité (0.01) qu'une machine en état normal ne produise une pièce défectueuse. Sur un tirage de 6, 2 objets sont défectueux, ce qui revient à associer une probabilité assez faible que ça provienne d'une machine en état normal.

Qu'en penses-tu ?

Merci




Consider a machine that produces items in sequence. Under normal operating conditions, the items are independent with probability 0.01 of being defective. However, it is possible for the machine to develop a “memory” in the following sense: After each defective item, and independent of anything that happened earlier, the probability that the next item is defective is 2/5. After each nondefective item, and independent of anything that happened earlier, the probability that the next item is defective is 1/165. Assume that the machine is either operating normally for the whole time we observe or has a memory for the whole time that we observe. Let B be the event that the machine is operating normally, and assume that Pr(B) = 2/3. Let Di be the event that the ith item inspected is defective. Assume that D1 is independent of B.

a. Prove that Pr(Di) = 0.01 for all i. Hint: Use induction.
b. Assume that we observe the first six items and the event that occurs is E = Dc1 ∩ Dc2 ∩ D3 ∩ D4 ∩ Dc5 ∩ Dc6
That is, the third and fourth items are defective, but the other four are not. Compute Pr(B|E).

[Pseuda]

Ok pour la question 1.

Pour la question 2, Ok pour la formule de Bayes.

Pour P(E\B) : on se situe dans l'univers où B est réalisé (machine fonctionne normalement), et on a, dans cet univers, P(E)=0.99^6, donc P(E\B)=0.99^4 * 0.01^2. OK

Avec P(E) = P(B) * P(E\B) + P(Bc) * P(E\Bc), on calcule ce qui nous manque : P(E\Bc)

Pour P(E\Bc) : on se situe dans l'univers où Bc est réalisé (machine ne fonctionne pas normalement), et on a dans cet univers, P(E) =

Dans cet univers, les événements Di ne sont pas indépendants, donc les Dci non plus, et :
P(E\Bc) = P(Dc1) * P(Dc2\Dc1) * P(D3\Dc1Dc2)*..... = 0,99 * (164/165) * (1/165) * ..... OK

[maxnihilist]

Bonjour,

Je ne comprends pas ton affirmation ici:
Pour P(E\B) : on se situe dans l'univers où B est réalisé (machine fonctionne normalement), et on a, dans cet univers, P(E)=0.99^6, donc P(E\B)=0.99^6 (tu as fait une erreur ici).

Comment peux-tu avoir 0.99^6 quand le 3eme et 4eme objets sont defectueux (et donc aillant une proba de 0.01).
C'est pour moi: P(E\B)=0.99*0.99*0.01*0.01*0.99*0.99 = 0.01^2*0.99^4
Peux-tu m'expliquer ? Quelque chose m'echappe.

Pour ton deuxieme point:
Je suis d'accord avec le fait qu'ils ne sont pas independants mais il est bien specifie que l'objet i ne depend que de l'objet i-1 et est independant des precedents.
J'ai donc selon moi:
P(D1c)*P(D2c/D1c)*P(D3/D2c) ... et non P(D1c)*P(D2c/D1c)*P(D3\(Dc1 inter Dc2))...

Merci

[Pseuda]

Je n'avais pas fait attention que c'était D3 et D4 (au lieu de Dc3 et Dc4). J'ai rectifié mon message.

Conclusion : c'est tout bon.

[maxnihilist]

Merci beaucoup !

0.11898 me parait cohérent. On a 0.01 en proba qu'un objet soit defectueux en temps normal. Sur 6 objets, 2 sont defectueux (hautement improbable qu'il s'agisse d'une machine normale donc). Je m'attends donc a un P(B/E) assez faible (ici 11%).

[Pseuda]

Il est curieux de constater que la probabilité que cette séquence provienne d'une machine en état normal soit aussi faible, étant donné que les probabilités de produire une pièce défectueuse ou non sont les mêmes selon que la machine est en étant normal ou non.

Toutefois, je te rejoins, cette séquence a plus de chances de se produire sur une machine défectueuse. Je trouve 0.11898 aussi.