Probabilités qu'il pleuve

[jazrael]

Bonjour,

Je me suis posé une question de probabilités et j'ai trouvé une solution, mais je ne sais pas ce qu'elle vaut. Merci de me donner votre avis.

Voilà, il y a une île où j'aime bien aller, c'est Tenerife. Le Sud de l'île est plutôt désertique, les nuages arrivant sur l'île étant arrêtés par les montagnes au centre. On va dire, pour faire des calculs simples, qu'il pleut 10 jours par an (en fait c'est plutôt 15 ou 20). Bien entendu, les jours de pluie ne se répartissent pas de façon aléatoire toute l'année, il pleut plus souvent en automne et en hiver.

Venons-en au problème de maths. Si on considère qu'il y a 10 jours de pluie par an et que ces jours de pluie sont équiprobables, je me suis demandé quelle était la probabilité de passer une semaine sans pluie, deux semaines sans pluie, trois semaines sans pluie etc.

Il s'agit donc d'un problème de tirage : dans un sac, j'ai 10 boules bleues et 355 boules jaunes. Je tire 7 boules, quelle est la probabilité qu'elles soient toutes jaunes ? Même question pour 14, 21 et 28 boules.

Pour le tirage de la première boule, il y a 355 chances sur 365 de tirer une boule jaune. Pour la deuxième boule, la probabilité est 354/364 etc. Si je ne veux que des boules jaunes, il faut multiplier ces probabilités :

355/365 x 354/364 x 353/363 x 352/362 x 351/361 x 35/36 x 349/359 = 82,2 % pour une semaine, 67,3 % pour deux semaines, 54,9 % pour trois semaines, et 44,5 % pour quatre semaines. La probabilité d'un séjour sans pluie passe sous 50 % au 25e jour.

Cela vous semble-t-il correct ? Et accessoirement, y a-t-il un moyen de simplifier le calcul ?

Merci pour votre aide.

P.S. : j'ai quitté le lycée depuis... Quelques années. Il ne s'agit pas d'une demande d'aide à un devoir.

[Lostounet]

Salut,
C'est une question très intéressante!

Mais je n'ai jamais osé me la poser car elle me parait très complexe. Car autant les calculs avec des probabilités élémentaires (boules etc) peuvent être effectués simplement (je relirai ton calcul), autant ce modèle risque de ne pas donner un vrai aperçu des choses.

Il est clair qu'en pratique pour la météo la pluie n'est pas équiprobable tous les jours de l'année.. cela dépend de tellement de paramètres que, tu peux te retrouver avec 2 ans sans pluie ou 80 j de pluie une certaine année. On peut aussi imaginer que la proba d'avoir 4 semaines de soleil à Marseille en aout soit supérieure à la probabilité d'avoir 4 semaines de soleil au mois de janvier dans cette même ville.

Par exemple si tu regardes cette île tu peux essayer de voir vers quels mois il pleut le plus sur les 10 années précédentes et t'éloigner de la période où cela a lieu. Par exemple en donnant pour chaque année un intervalle de dates plus petit possible entre lesquelles ces 10 jours ont eu lieu. Et ensuite construire un grand intervalle de "sécurité" en dehors duquel il n'a quasi jamais plu.

Ceci s'apparente un peu à la construction de régions de fluctuations/de confiance en statistique. Personnellement je ferais plus ça (au moins en première approximation) que de calculer des probabilités de tirage aléatoires.

[jazrael]

Bonjour,

En fait, la question de départ n'était qu'un prétexte pour me replonger dans les probabilités. Le point d'appel, ça a été de me souvenir qu'on disait qu'il pleuvait 10 jours par an et constater que ça faisait trois ans que j'y passais une ou deux semaines et que trois ans de suite j'avais eu de la pluie. D'un point de vue météorologique, l'explication est simple : j'y séjourne dans la période où la pluie est la plus probable.

Mais du coup, je me suis posé la question : en terme de probabilités, s'il est évident que d'avoir un jour sans pluie est un événement très probable, quelle est la probabilité que cette journée sans pluie se répète une, deux, trois ou quatre semaines ?