[DM] Probabilités : loi binominale

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LordHorus
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[DM] Probabilités : loi binominale

par LordHorus » 04 Avr 2014, 17:55

Bonjour, j'ai seulement un exercice à faire pour mardi, qui porte sur les probabilités, et plus précisément sur la loi binominale. J'ai déjà fait 3 questions sur 4, mais je ne suis pas sûr que ce soit correct, et j'aimerais de l'aide pour la dernière question, ainsi qu'une vérification de mon raisonnement pour ce que j'ai fait.

Énoncé : Une entreprise fabrique des cartes à puce. Chaque puce peut présenter deux défauts a et b. On prélève au hasard, une puce dans la production de la journée. Une étude a permis de montrer que la probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait :
-Le défaut A est 0,03;
-Le défaut B est 0,02;
-Ni le défaut A, ni le défaut B est 0,9506.

1) Quelle est la probabilité que la puce ait les deux défauts à la fois ?

La probabilité que les puces est les deux défauts à la fois est 1-p(A(barre en haut)uB(barre en haut) = 1-0,9506 = p(AuB) = 0,0494.

2) Les puces sont conditionnées par lots de 100 pour un nettoyage avant montage sur la carte. On prélève au hasard un lot de 100 puces (on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise). X est la variable aléatoire, qui à chaque lot, associe le nombre de puces défectueuses.

a) Quelle est la loi de X ?

L'épreuve consiste à tirer au hasard (une puce dans )? un lot de 100 puces. On note S l'issue : "La puce est défectueuse". On tire une puce au hasard parmi les 100 puces. Donc le test correspond à un schéma de Bernouilli d'ordre 100. Donc la variable aléatoire X suit une loi binominale de paramètre n = 100 et p = 0.0494 soit 0.05.

b) Quel est en moyenne le nombre de puces sans défaut dans un lot de 100 ?

E(X) = 100*0.05 = 5 puces défectueuses, soit 95 puces sans défaut dans un lot de 100.

3) Après un nettoyage, les puces sont regroupées par paquets de 800 pour alimenter l'atelier de montage sur carte. On prélève au hasard un lot de 800 cartes (on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise). On appelle Y la variable aléatoire qui indique le nombre de cartes en mauvais état de fonctionnement. Déterminez le plus petit entier n tel que P(Y>n)<ou=0.05. Interprétez ce résultat.

Pour cette question, je n'ai pas vraiment de pistes à suivre :mur:
Merci d'avance pour les critiques et pistes que vous me donnerez. LordHorus.



mrif
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par mrif » 05 Avr 2014, 01:10

LordHorus a écrit:Bonjour, j'ai seulement un exercice à faire pour mardi, qui porte sur les probabilités, et plus précisément sur la loi binominale. J'ai déjà fait 3 questions sur 4, mais je ne suis pas sûr que ce soit correct, et j'aimerais de l'aide pour la dernière question, ainsi qu'une vérification de mon raisonnement pour ce que j'ai fait.

Énoncé : Une entreprise fabrique des cartes à puce. Chaque puce peut présenter deux défauts a et b. On prélève au hasard, une puce dans la production de la journée. Une étude a permis de montrer que la probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait :
-Le défaut A est 0,03;
-Le défaut B est 0,02;
-Ni le défaut A, ni le défaut B est 0,9506.

1) Quelle est la probabilité que la puce ait les deux défauts à la fois ?

La probabilité que les puces est les deux défauts à la fois est 1-p(A(barre en haut)uB(barre en haut) = 1-0,9506 = p(AuB) = 0,0494.

2) Les puces sont conditionnées par lots de 100 pour un nettoyage avant montage sur la carte. On prélève au hasard un lot de 100 puces (on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise). X est la variable aléatoire, qui à chaque lot, associe le nombre de puces défectueuses.

a) Quelle est la loi de X ?

L'épreuve consiste à tirer au hasard (une puce dans )? un lot de 100 puces. On note S l'issue : "La puce est défectueuse". On tire une puce au hasard parmi les 100 puces. Donc le test correspond à un schéma de Bernouilli d'ordre 100. Donc la variable aléatoire X suit une loi binominale de paramètre n = 100 et p = 0.0494 soit 0.05.

b) Quel est en moyenne le nombre de puces sans défaut dans un lot de 100 ?

E(X) = 100*0.05 = 5 puces défectueuses, soit 95 puces sans défaut dans un lot de 100.

3) Après un nettoyage, les puces sont regroupées par paquets de 800 pour alimenter l'atelier de montage sur carte. On prélève au hasard un lot de 800 cartes (on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise). On appelle Y la variable aléatoire qui indique le nombre de cartes en mauvais état de fonctionnement. Déterminez le plus petit entier n tel que P(Y>n)<ou=0.05. Interprétez ce résultat.

Pour cette question, je n'ai pas vraiment de pistes à suivre :mur:
Merci d'avance pour les critiques et pistes que vous me donnerez. LordHorus.

1) L'événement "la puce a les 2 défauts à la fois" est .



2) Pour cette question, l'événement "pièce defectueuse" est , dont la probabilité est ce que tu as trouvé:


3) Pour répondre à cette question, on est amené à faire une approximation de la loi binomiale de paramètre (800; 0.0494) par une loi normale de paramètres . Regarde ton cours pour t'assurer que les conditions sont remplies pour procéder à cette approximation.

paquito
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par paquito » 05 Avr 2014, 13:00

Même en faisant un programme, on ne peut répondre à cette question car les coefficients binomiaux
nCk risquent de dépasser 10^99 (800C80) ne passe pas.

Mais tu as dû voir en cours que la loi binomiale pouvait être approchée par une loi normale de même moyenne et de même écart-type soit m=np=800x0,0494=39,52 et
sigma=V(npq)=V(800x0,0494x(1-0,049))=6,13 .
Dans la pratique, on considère que l'approximation est justifiée si: n>30; np>15 et npq>5, ce qui est largement vérifiée ici.
Donc, on considère que Y suit la loi normale de paramètre: 39,52 et 6,13. Comme je ne sais pas si tu as beaucoup travaillé avec la loi normale, je te montre ce que l'on doit faire:

Tout d'abord on se ramène à la loi normale centrée réduite en utilisant la variable Z=(Y-39,52)/6,13) et
P(Y>n)=<0,5<=> P(Y=0,5<=>P((Y-39,52)/6,13)<(n-39,52)/6,13))>=05<=>
P(Z<(n-39,52)/3,13)>=05<=> pi((n-39,52))/6,13)>=0,5.

Comme pi(0)=0,5, on aboutit à n-39,52>0 donc n=40.

en fait, comme 40 n'est pas trop grand on peut encore utiliser la loi binomiale pour vérifier;

on obtient P(Y<39)=0,443.... et P(Y<40)=0,508, donc en fait la bonne réponse est bien 40; l'approximation n'est pas très bonne car p est petit (pi désigne bien sûr la fonction de répartition de la loi N(0; 1).

LordHorus
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par LordHorus » 05 Avr 2014, 15:56

Je n'ai rien compris du tout paquito désolé >< Il n'y a pas un plus simple résumé ?
Et mrif, pour la question 2), mon raisonnement entier aux réponses a) et b) sont donc justes ? Car j'ai un ami qui m'a dit que je venais de dire qu'on répétait l'expérience 100 fois, alors qu'il s'agit uniquement de tirer une puce parmi un lot de 100 puces.

paquito
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par paquito » 05 Avr 2014, 18:24

à par la probabilité d'avoir les 2 défauts, tes réponses sont justes.
Si tu n'as pas vu la loi normale et à fortiori l'approximation de la loi binomiale, ce que je t'ai dit est du chinois! Je te propose la réponse suivante:
un programme (que je peux te fournir) donne:

P(Y=<39)=0,508... et
P(Y=<38)=0,443
donc p(Y>n)=<0,5<=>P(Y==0,5 et le plus petit entier est n=39.

LordHorus
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par LordHorus » 05 Avr 2014, 18:48

paquito a écrit:à par la probabilité d'avoir les 2 défauts, tes réponses sont justes.
Si tu n'as pas vu la loi normale et à fortiori l'approximation de la loi binomiale, ce que je t'ai dit est du chinois! Je te propose la réponse suivante:
un programme (que je peux te fournir) donne:

P(Y=n)=P(Y==0,5 et le plus petit entier est n=39.


Je commence à comprendre un peu mieux, mais quelle est l'opération que l'on fait pour obtenir "P(Y=<39)=0,508... et P(Y=<38)=0,443", etc... Pourquoi a t'on choisi 39 et comment obtient t'on 0,508 ?

mrif
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par mrif » 05 Avr 2014, 23:41

LordHorus a écrit:Je n'ai rien compris du tout paquito désolé >< Il n'y a pas un plus simple résumé ?
Et mrif, pour la question 2), mon raisonnement entier aux réponses a) et b) sont donc justes ? Car j'ai un ami qui m'a dit que je venais de dire qu'on répétait l'expérience 100 fois, alors qu'il s'agit uniquement de tirer une puce parmi un lot de 100 puces.

Tes réponses pour la quesyion 2) sont correctes. J'ai rédigé le début de cette question juste pour souligner que dans cette question il s'agissait de , chose que tu as bien vue, en opposition avec de la question 1).

Pour la question 3) paquito a développé l'idée de l'approximation par une loi normale. Je n'ai pas vérifié les calculs, mais la démarche est bonne. Si tu ne maitrises pas ce genre de technique, c'est le moment de t'y inetresser en te plongeant dans ton cours.

Bon courage.

paquito
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par paquito » 06 Avr 2014, 12:44

Les calculs avec la loi binomiale deviennent vite pénibles, d'où l'utilité d'un programme sur TI qui est celui que j'ai utilisé pour me rapprocher du calcul qui me donne la solution:

:Prompt N
:Prompt P
:1-P->Q
:Lbl 1
:Prompt I
:Prompt J
:0->S
:For(K,I,J)
:NCK.P^K.Q^(N-K)+S->S
:End
:Disp S
:Pause
:Goto 1

Ce programme est fait pour pouvoir faire plusieurs calculs sans avoir à rerentrer N et P.

Par exemple pour la loi B(800;0,0494)Je rentre 800 et 0,0494,
pour calculer P(X=4), je rentre I=4 et J=4; P(X=4)=3,09x10^-13;
Pour calculer P(X=<41),je rentre I=0 et J=41 et j'obtiens après un certain temps 0,6349; programme bien utile!

LordHorus
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par LordHorus » 06 Avr 2014, 18:13

J'ai recopié le programme mais je ne trouve pas la même chose :/ Je met N = 800; P = 0.0494; I = 4 et J = 4 pour trouver 9,6e-18

paquito
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par paquito » 06 Avr 2014, 19:02

LordHorus a écrit:J'ai recopié le programme mais je ne trouve pas la même chose :/ Je met N = 800; P = 0.0494; I = 4 et J = 4 pour trouver 9,6e-18


Revois ton programme, car mon résultat est bon. Tu l'as fait sur quelle calculatrice?

LordHorus
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par LordHorus » 06 Avr 2014, 19:19

paquito a écrit:Revois ton programme, car mon résultat est bon. Tu l'as fait sur quelle calculatrice?


TI 83+, la même que la tienne

paquito
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par paquito » 06 Avr 2014, 19:20

Ca doit marcher! Quel symbole as tu pour les coefficient binomiaux; sur la mienne (TI82 stat fr) c'est
NcombinaisonK. TU vas bien trouver où est le petit problème!

LordHorus
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par LordHorus » 06 Avr 2014, 19:24

NCK.P^K.Q^(N-K)+S->S

Sur la calculatrice => N*C*K*P^K*Q^(N-K)+S->S ?

paquito
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par paquito » 06 Avr 2014, 19:33

LordHorus a écrit:NCK.P^K.Q^(N-K)+S->S

Sur la calculatrice => N*C*K*P^K*Q^(N-K)+S->S ?

N*C*K, c'est pour moi une multiplication de 3 termes;
vas dans "math", "PRB", en 3, tu auras la fonction qui te donne les NcK, ça peut être nCr comme avant;
de toutes façons il faut taper N, puis le symbole en 3, puis K; fais des essais avec des petits nombres pour comprendre la syntaxe.

LordHorus
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par LordHorus » 06 Avr 2014, 19:36

Ah oui, C = Combinaison, j'avais pas compris ^^ C'est bon, j'ai trouvé le même résultat que le tien, merci ^^ Ce programme peut-être utilisé dans quelles circonstances ?

paquito
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par paquito » 06 Avr 2014, 19:48

LordHorus a écrit:Ah oui, C = Combinaison, j'avais pas compris ^^ C'est bon, j'ai trouvé le même résultat que le tien, merci ^^ Ce programme peut-être utilisé dans quelles circonstances ?


Dans tous les exos où intervient une loi binomiale; vu l'avalanche d'algorithmes qui vous tombent dessus, personne ne pourra plus te reprocher de savoir programmer ta calculatrice! attention il y a un cas particulier qui est p(X>=1), ou l'on passe par l'événement contraire P(X=0)=q^n et où n est inconnu et où on utilise ln.
Exemple: X suit une loi B(n,p); calculer n pour que P(X>=1)> 0,999. Sinon, ça soulage du calcul.

LordHorus
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par LordHorus » 06 Avr 2014, 20:23

Mais après c'était juste un DM, et je doute que ce soit aussi compliqué que ça pour la suite, mais ça pourra toujours me servir, merci pour l'algorithme ^^ Je recopierai le DM de maths au propre demain soir, tu pourras jeter un coup d’œil pour savoir si j'ai bien compris ? Par contre pour la question 3, j'ai un ami qui a fait un calcul, mais il ne correspond pas au tien, donc je ne sais pas pourquoi. Lien = http://www.noelshack.com/2014-14-1396804995-question-3.png

paquito
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par paquito » 06 Avr 2014, 21:28

LordHorus a écrit:Mais après c'était juste un DM, et je doute que ce soit aussi compliqué que ça pour la suite, mais ça pourra toujours me servir, merci pour l'algorithme ^^ Je recopierai le DM de maths au propre demain soir, tu pourras jeter un coup d’œil pour savoir si j'ai bien compris ? Par contre pour la question 3, j'ai un ami qui a fait un calcul, mais il ne correspond pas au tien, donc je ne sais pas pourquoi. Lien = http://www.noelshack.com/2014-14-1396804995-question-3.png


Si c'est p(Y==0,95, il faut utiliser la loi normale( j'ai lu 0,5), où on fait marcher le programme avec p(Y0,95;
en tatonant, on obtient p(Y<=49)=0944409....et p(Y<=50)=0959439.....donc le plus petit entier n=50.
Normalement ce type d'exercice se traite en utilisant l'approximation d'une loi binomiale avec n grand par une loi normale; mais on s'en tire avec le programme.

LordHorus
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par LordHorus » 06 Avr 2014, 21:54

Donc ce qu'il a fait est juste, merci ^^

paquito
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par paquito » 07 Avr 2014, 10:49

C'est tout à fait juste; c'est moi qui avait lu 0,5 à la place de 0,05!
Mais ce programme à ses limites; on obtient P(68=Si on a p plus grand, on sera vite bloqué.
Exemple Y suit une loi B(800; 0,3); on obtient P(30=

 

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