Probabilités : jeu de Yams.

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jojo130194
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Probabilités : jeu de Yams.

par jojo130194 » 11 Fév 2013, 21:18

Bonsoir,

Je viens vers vous pour des petits soucis de probabilités.
Je ne suis plus du tout en terminale, mais je pense que c'est à peu près du niveau terminale, donc j'espère trouver une réponse ici ! :)

J'ai de très nombreuses probabilités à calculer sur le jeu de Yams, comme par exemple calculer la probabilité d'obtenir une paire de 4 au premier lancer. Cependant, j'ai beaucoup de difficultés dans le domaine...

Je vais vous "expliquer" rapidement les règles. On lance 5 dés. Pour chaque dès, nous avons le droit de les relancer deux fois, le but étant d'obtenir la plus grande combinaison.
Les différentes combinaisons sont :

- Paire ( Deux dés identiques )
- Brelan ( Trois dés identiques )
- Carré ( Quatre dés identiques )
- Petite suite ( 1, 2, 3, 4, 5 )
- Grande suite ( 2, 3, 4, 5, 6 )
- Full ( Une paire + Un Brelan )

Par exemple, on peut faire un lancer, et obtenir 2, 5, 2, 1, 4.
On décide alors de relancer le 1, et un 2. On obtient 3 et 5, admettons, ce qui nous fait alors 2, 3, 4, 5, 5.
On peut, pour le dernier tour, décider de relancer un 5, afin d'espérer avoir un 6 à la place, dans le but d'obtenir une grande suite : 2, 3, 4, 5, 6.

J'ai réussi à calculer toutes les probabilités basiques (une paire au premier lancer, une paire de 3 au premier lancer, un yams de 2 au deuxième lancer, etc...), du moins je pense.

Pour un carré de 5, par exemple, je fais :
p = ( 6 * ( 5! / 4! * ( 5 - 4 )! ) * 5 ) / ( 6^5 )
Je passe les développements, mais j'obtiens :
p = 150 / 7776
p ~= 0.0193

Tout d'abord, est-ce que celà est juste ?

Enfin, j'aurais besoin d'aide pour les cas plus compliqués... Là, ça se complique vraiment beaucoup pour moi, je n'ai aucune idée d'où aller...

Comment calculer la probabilité d'obtenir un full de 2 par les 4 ( c'est à dire d'obtenir 2, 2, 2, 4, 4 ) au premier lancer ?
Comment calculer la probabilité d'obtenir une petite suite au premier lancer ?

Et pire encore...

Comment calculer, par exemple, la probabilité d'obtenir une certaine combinaison à partir de la position de certains dés ? Ce n'est pas très clair... J'avoue que c'est flou aussi pour moi, mais nous avons quelques exemples.
Par exemple, si nous avons 1, 2, 3, 4, 5, la probabilité d'obtenir un yams de 4 au prochain lancer est de 0.08%... Comment obtenir ce résultat ?
Dans le même style, avec 2, 2, 5, 4, 6, la probabilité d'obtenir une grande suite au prochain lancer serait de 16.67%... Comment la calculer ?
Si on a 2, 3, 2, 3, 2, la probabilité d'obtenir un full de 2 par les 3 au prochain lancer ? Evidemment, dans ce cas là, c'est simple, nous avons déjà le full de 2 par les 3, donc la probabilité est de 100%... Mais comment calculer ce nombre ?

Le but serait en fait de créer un programme informatique qui calcule les probabilités d'obtenir une certaine combinaison à partir d'un précédent lancer, ou bien d'aucun lancer si c'est la première fois que nous lançons les dés.

Merci d'avance,

jojo130194



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par fatal_error » 12 Fév 2013, 12:35

slt,

Par exemple, si nous avons 1, 2, 3, 4, 5, la probabilité d'obtenir un yams de 4 au prochain lancer est de 0.08%... Comment obtenir ce résultat ?

ben si tu cherches le yams de 4, déjà tu gardes le 4.
Tu vas donc lancer 4 dés.
Chacun de ces dés doit donner 4.
P(dé1==4)*P(dé2==4)*...*p(dé4==4) = (1/6)^4=0.077% ~0.08%

Dans le même style, avec 2, 2, 5, 4, 6, la probabilité d'obtenir une grande suite au prochain lancer

C'est un peu plus délicat.
par exemple pour faire GS(5) (Grande Suite 1-2-3-4-5). il faut garder 2,4,5 et relancer 2 et 6 (pour avoir 1 et 3)
pour faire GS(6) il faut garder 2,4,5,6 et relancer 2 pour avoir 3).

Les méthodes de jeu sont différentes. Par exemple si tu tentes GS(5) tu as
P(dé1==1)P(dé2==3)*2 = 2(1/6)^2=5.6%

Si tu tentes GS(6)
P(dé1==3)=1/6 = 16.7%

II faut prendre le lancer qui maximise tes possibilités d'avoir une GS, donc tenter la GS(6) cad 16.7%
la vie est une fête :)

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par fatal_error » 12 Fév 2013, 12:42

Comment calculer la probabilité d'obtenir un full de 2 par les 4 ( c'est à dire d'obtenir 2, 2, 2, 4, 4 ) au premier lancer ?

le nombre de full solutions sont : 3 dés qui valent 2 parmi les 5 et deux dé qui valent 2 parmi les 2 restants.
le nombre de sorties possibles sont : 6*6*6*6*6

La proba donne : C(3,5)*C(2,2)/6^5 = 0.12%

Comment calculer la probabilité d'obtenir une petite suite au premier lancer ?

une petite suite c'est 1-2-3-4 ou 2-3-4-5
Donc déjà ya un prob parce que si on pioche 1-2-3-4 et que le cinquieme dé il vaut 5, on a une grande suite (mais qui vaut aussi une petite suite)...mais pour simplifier on va considérer des petite suites strictement (idem 1-2-3-4-5 est pas solution).

pour 1-2-3-4: il faut piocher 1 2 3 et 4 avec la permutation pres (ex : 2-1-3-4). Donc 1*1*1*1*4!
enfin la derniere valeur n'est pas 5, 5 choix donc => 1*1*1*1*4!*5

pour 2-3-4-5: la derniere n'est ni 1 ni 6 -> 4 choix
pour 3-4-5-6: la derniere n'est pas 1 : ->5 choix
p(petiteSuite) = 4!*(5+4+5)/6^5=4.3%

Je veux bien que quelqu'un me relise :)
la vie est une fête :)

jojo130194
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Correct ?

par jojo130194 » 12 Fév 2013, 20:56

Bonsoir,

Tout d'abord, merci de la réponse !

Pour le yams, j'ai compris, c'est un cas plutôt facile finalement...

Cependant, je bloque pour le reste... Dans le cas des full, à quoi correspond le C(3, 5) par exemple ?
Dans le cas de la suite, j'ai compris pour la grande, mais pour la petite, pourquoi multiplier par 2 ? On garde 3 dés, on doit relancer deux dés, jusque là, ça va. Mais ensuite, je ne comprends pas trop la formule... ?

Concrètement, si l'on connait le nombre de dés à relancer, y a-t-il une formule qui permettent de calculer chacune des probabilités ?
Pour le yams, si je ne me trompe pas, si l'on doit relancer n dés, la probabilité d'obtenir le yams de la valeur voulue sera (1 / 6) ^ n.
Pour la suite, ce serait, si je comprends le * 2 ( ce dont je doute... ), p = n * (1 / 6) ^ n ?
Pour la paire, le brelan, la carré, et le full, je ne vois pas...
En particulier pour le full... Si je veux un full de 2 par les 5, c'est-à-dire 2, 2, 2, 5, 5, et que j'ai, par exemple, 1, 2, 3, 2, 5, je vais garder deux 2, et un 5. Je relance donc deux dés, un pour le brelan, et un pour la paire. Je connais donc le nombre de dés manquant pour la paire ( appelons le n ) et pour le brelan ( que nous appelerons m ). A partir de là, est-il possible d'arriver à une formule du style p = ...m ... n ? Je pensais, en regardant votre exemple (que je ne comprends pas :/ Notamment le C(3, 5) ) à quelque chose comme C(m + n, m) * C(m, n) / 6^5... Mais j'en doute fortement.

Merci encore de votre aide !

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par fatal_error » 12 Fév 2013, 22:07

y a-t-il une formule qui permettent de calculer chacune des probabilités ?

supposes que non.

la probabilité d'obtenir le yams de la valeur voulue sera (1 / 6) ^ n.

tu dois tirer 1-2-3-4-5-6 ou ces permutations: (il y en a 6! (factorielles))

C(3,5) ca veut dire 3 parmi 5.
C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
je te laisse regarder sur le net pour la formule de combinaison.
la vie est une fête :)

LeJeu
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par LeJeu » 12 Fév 2013, 22:58

fatal_error a écrit:une petite suite c'est 1-2-3-4 ou 2-3-4-5
Donc déjà ya un prob parce que si on pioche 1-2-3-4 et que le cinquieme dé il vaut 5, on a une grande suite (mais qui vaut aussi une petite suite)...mais pour simplifier on va considérer des petite suites strictement (idem 1-2-3-4-5 est pas solution).

pour 1-2-3-4: il faut piocher 1 2 3 et 4 avec la permutation pres (ex : 2-1-3-4). Donc 1*1*1*1*4!
enfin la derniere valeur n'est pas 5, 5 choix donc => 1*1*1*1*4!*5

pour 2-3-4-5: la derniere n'est ni 1 ni 6 -> 4 choix
pour 3-4-5-6: la derniere n'est pas 1 : ->5 choix
p(petiteSuite) = 4!*(5+4+5)/6^5=4.3%

Je veux bien que quelqu'un me relise :)


Bonsoir,

Je me trompe ? mais j'aurais plutôt dis 5! que 4!, on permute les 5 dés , et pas seulement les 4 de la suite ?

jojo130194
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par jojo130194 » 12 Fév 2013, 23:15

Pour être honnête, je suis totalement perdu, ça commence à faire pas mal d'années que je n'ai pas fait de mathématiques...

Pour reprendre "simplement", on va repartir sur les paires.
Dans le cas général, à partir d'un certain lancer (au hasard, 1, 5, 4, 2, 4), comment calculer la probabilité d'obtenir une certaine paire (disons, une paire de 1, pour l'exemple) ?
Je commence par trouver le nombre de dés à relancer (ici, j'ai déjà un 1, je vais donc le garder, et relancer les 4 autres dés).
A partir de là, la probabilité d'obtenir ma paire de 1 au prochain lancer serait de... ?
Si j'ai compris ce que vous avez dit précédemment (mais encore une fois, j'en doute, j'avoue que tout est vraiment très flou...), j'obtiendrais :
p = C(1, 4) * 5 * 4 * 3 / (6 ^ 4).
Et d'une règle plus générale, si je dois garder n dés, j'obtiendrais :
p = C(2 - n, 5 - n) * 5 * 4 * 3 / (6 ^ (5 - n))
Cela est-il juste ?

Du coup, pour les brelans, j'obtiendrais :
p = C(3 - n, 5 - n) * 5 * 4 / (6 ^ (5 - n))

Et pour les carrés :
p = C(4 - n, 5 - n) * 5 / (6 ^ (5 - n))

Pour les yams :
p = (1 / 6) ^ (5 - n)

Pour la petite suite (1, 2, 3, 4, 5) ou la grande suite (2, 3, 4, 5, 6) :
p = (5 - n) * (1 / 6) ^ (5 - n)

Et pour les fulls... Je n'ai même pas d'idées (bien qu'il y ait de fortes probabilités que mes formules du dessus soient fausses...)

Vraiment, je suis perdu, merci de votre aide et de votre patience ! :we:

EDIT : Pour les fulls, je pense avoir trouvé une formule qui tient plutôt pas mal la route :
Soit m le nombre de dés incorrects pour le brelan voulu, et n le nombre de dés incorrects pour la paire voulue
p = C(m, m + n) * C(n, n) / (6 ^ (m + n))

Par exemple, au premier lancer, on a donc m = 3, et n = 2, et on obtient, pour un full de 2 par les 3 :
p = 0.13%
Toujours pour ce même full de 2 par les 3, avec un lancer équivalant à 2, 3, 2, 3, 2, j'ai bien p = 100%.
Et maintenant, en gardant le même lancer, mais en voulant la probabilité d'obtenir un full de 3 par les 2 au prochain lancer, j'obtiens p = 16.67%, ce qui me parait pas mal.

Merci de me dire ce que vous pensez de toutes mes formules, et de m'aider à les corriger en cas de problème ! :hein:

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fatal_error
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par fatal_error » 13 Fév 2013, 10:41

Je me trompe ? mais j'aurais plutôt dis 5! que 4!, on permute les 5 dés , et pas seulement les 4 de la suite ?

ui, merci.

Merci de me dire ce que vous pensez de toutes mes formules, et de m'aider à les corriger en cas de problème !

ben tes formules jles comprends pas, c'est des nombres qui sortent de nul part!

p = C(1, 4) * 5 * 4 * 3 / (6 ^ 4).

pourquoi C(1,4) pourquoi 5,4 et 3 ?

Enfin, le plus simple pour vérifier tes formules, c'est de faire une simulation...
Code: Tout sélectionner
pour i=1 à nbSimulations
 lancer 4 dés
 //ici c'est ptet plus subtil, parce que faut-il compter un brelan de 1 comme une paire de 1?
 si un des dé vaut 1
   nbSolutions++
 finsi
finpour
afficher nbSolutions/nbSimulations
la vie est une fête :)

 

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