Probabilités appliquées au Jeu de Rôle

[asmiinoth]

Bonjour et tout d'abord veuillez m'excuser si le post n'est pas au bon endroit mais il me semble que les probabilités sont niveau lycée...

je suis en train de créer un JDR dont le système est basé sur les dés à 6 faces et j'aurais besoin de votre aide pour les calculs de probabilités en gras ci-dessous:

pour le lancer d'1D6:

minimum = 1
maximum = 6
médiane = 3,5
premier quartile = 2
troisième quartile = 5
prob. d'obtenir exactement trois 6 = 0
prob. d'obtenir au moins trois 6 = 0
prob. d'obtenir exactement quatre 6 = 0
prob. d'obtenir au moins quatre 6 = 0
prob. d'obtenir exactement cinq 6 = 0
prob. d'obtenir au moins cinq 6 = 0
prob. d'obtenir exactement six 6 = 0
prob. d'obtenir au moins six 6 = 0

pour le lancer de 2D6:

minimum = 2
maximum = 12
médiane = 7
premier quartile = 5
troisième quartile = 9
prob. d'obtenir exactement trois 6 = 0
prob. d'obtenir au moins trois 6 = 0
prob. d'obtenir exactement quatre 6 = 0
prob. d'obtenir au moins quatre 6 = 0
prob. d'obtenir exactement cinq 6 = 0
prob. d'obtenir au moins cinq 6 = 0
prob. d'obtenir exactement six 6 = 0
prob. d'obtenir au moins six 6 = 0

pour le lancer de 3D6:

minimum = 3
maximum = 18
médiane = 10,5
premier quartile = 8
troisième quartile = 13
prob. d'obtenir exactement trois 6 = 1/216
prob. d'obtenir au moins trois 6 = 1/216
prob. d'obtenir exactement quatre 6 = 0
prob. d'obtenir au moins quatre 6 = 0
prob. d'obtenir exactement cinq 6 = 0
prob. d'obtenir au moins cinq 6 = 0
prob. d'obtenir exactement six 6 = 0
prob. d'obtenir au moins six 6 = 0

pour le lancer de 4D6:

minimum = 4
maximum = 24
médiane = 14
premier quartile = 12
troisième quartile = 16
prob. d'obtenir exactement trois 6 = ???
prob. d'obtenir au moins trois 6 = ???
prob. d'obtenir exactement quatre 6 = 1/1296
prob. d'obtenir au moins quatre 6 = 1/1296
prob. d'obtenir exactement cinq 6 = 0
prob. d'obtenir au moins cinq 6 = 0
prob. d'obtenir exactement six 6 = 0
prob. d'obtenir au moins six 6 = 0

pour le lancer de 5D6:

minimum = 5
maximum = 30
médiane = 17,5
premier quartile = 15
troisième quartile = 20
prob. d'obtenir exactement trois 6 = ???
prob. d'obtenir au moins trois 6 = ???
prob. d'obtenir exactement quatre 6 = ???
prob. d'obtenir au moins quatre 6 = ???
prob. d'obtenir exactement cinq 6 = 1/7776
prob. d'obtenir au moins cinq 6 = 1/7776
prob. d'obtenir exactement six 6 = 0
prob. d'obtenir au moins six 6 = 0

pour le lancer de 6D6:

minimum = 6
maximum = 36
médiane = 21
premier quartile = ???
troisième quartile = ???
prob. d'obtenir exactement trois 6 = ???
prob. d'obtenir au moins trois 6 = ???
prob. d'obtenir exactement quatre 6 = ???
prob. d'obtenir au moins quatre 6 = ???
prob. d'obtenir exactement cinq 6 = ???
prob. d'obtenir au moins cinq 6 = ???
prob. d'obtenir exactement six 6 = 1/46656
prob. d'obtenir au moins six 6 = 1/46656

D'après moi pour 5 jets de dés à 6 faces, la probabilité d'obtenir exactement 3 fois le 6 est de: 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 = 25/7776 et la probabilité d'avoir au moins 3 fois le 6 serait de (25/7776) *5 , dites moi si je me trompe svp,
en tout cas je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

[Ben314]

(1) D'après moi pour 5 jets de dés à 6 faces, la probabilité d'obtenir exactement 3 fois le 6 est de: 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 = 25/7776
(2) et la probabilité d'avoir au moins 3 fois le 6 serait de (25/7776) *5

(1) Non, c'est pas tout à fait ça.
Si on considère que les 5 dés sont différentiable, soit parce qu'on les a coloriés, soit parce qu'on les jette l'un après l'autre (+simple pour en parler : 1er dés, 2em dés,...), ce qui ne change absolument rien au proba qui t'intéressent, alors,
la proba dont tu parle, à savoir 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6, c'est celle de faire un 6 (en premier) puis un 6 (en deuxième) puis un 6 (en troisième) puis pas un 6 (en quatrième) puis pas un 6 (en cinquième), qu'on va noter en abrégé "faire 666XX" vu que c'est un peu longuet à écrire...
Évidement, pour avoir au final 3 six, ni plus, ni moins, on aurait pu faire 6X6X6 ou bien X66X6 ou bien ... (en fait il y a 15 cas de figure).
Chacun de ces 15 cas de figure à une probabilité de P = 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 d'arriver et comme les cas sont disjoints (on ne peut pas être "à cheval" sur plusieurs cas), la proba finale, c'est la somme P+P+P...+P (15 fois), c'est à dire 15*P.
(2) non, là, c'est pas du tout ça : pour calculer la proba d'avoir au moins 3 six, il n'y a pas de secret, il faut que tu calcule la proba d'en avoir exactement 3 + la proba d'en avoir exactement 4 + la proba d'en avoir exactement 5.
La seule "mini astuce" pouvant être de dire que c'est égal à 1 - la proba d'en avoir 0 - la proba d'en avoir exactement 1 - la proba d'en avoir exactement 2.
Dans tout ces calculs, le seul truc pas bien évident à calculer, c'est l'équivalent du 15 çi dessus qui correspond au nombre de façon d'écrire un "mot" de 5 lettres contenant trois fois la "lettre" 6 et deux fois la "lettre" X.
Comme j'ai pas trop envie de refaire toute la théorie, je te dit juste que ça s'appelle un Coefficient binomial et que ça se calcule très facilement, soit avec des factorielles, soit à l'aide du Triangle de Pascal.
Par exemple, dans le cas ci dessus,
Et avec cette notation, la proba d'obtenir exactement fois le chiffre 6 en jetant dés, c'est
(le premier "bidule" est un coefficient binomial et les deux autres sont simplement des fractions élevés à une certaine puissance et évidement, ça n'a de sens que si , sinon la proba est nulle)

[asmiinoth]

Tout d'abord un grand merci à toi BEN314 pour la célérité de ta réponse, par contre je suis désolé mais je ne sais pas me servir d'un triangle de pascal alors j'ai fait le schéma sus cité à la main ce qui me donne (sauf erreur):
666XX
66XX6
6XX66
XX666
X6X66
X66X6
X666X
6X66X
66X6X
6X6X6
soit 10 possibilités ... quelles sont les 5 autres ? Comment utilise t-on un triangle de pascal pour ceci?

Pour le jet de 4 dés on a donc:
666X
66X6
6X66
X666
soit 4 possibilité, donc la probabilité d'obtenir exactement 3 "6" sur 4 dés est de : (1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6) *4 = (5/1296) *4 = 0.01543 ?
J'ai bon ?

D'avance merci

[Ben314]

Pour la première question, tu as plus que bien fait de vérifier "à la main" vu que j'ai écrit une connerie : (et pas 15).

Sinon, si le triangle de Pascal, ça te gonfle de comprendre comment ça marche (c'est concon, on fait la somme de deux "cases" pour trouver la valeur de la "case d'en dessous")
Tu peut prendre la définition "avec des factorielles" qui dit par exemple (en prenant des gros nombres pour mieux comprendre) que où tu as mis 4 nombres au numérateur (en partant de 11 et en descendant) et 4 au dénominateur (en partant de 1 et en montant).
Autre exemple (sic...) (et pas 15...)
Vérif :

Enfin, concernant le "trois 6 parmi 4 dés", c'est bien ça.
Souvent, si on a des doutes, on calcule "zéro 6 parmi 4 dés" ; "un 6 parmi 4 dés" , "deux 6 parmi 4 dés" "trois 6 parmi 4 dés" ; "quatre 6 parmi 4 dés" et on vérifie que la somme de ces 5 nombres fait bien 1.

Tu peut aussi utiliser un tableur si ça te chante (la fonction "coefficient binomial" est intégrée dans tout les tableurs). tu y gagne pas mal de temps, en particulier pour faire les additions correspondant à "au moins 3 six avec 5 dés" par exemple.

[Ben314]

Sinon, concernant le triangle de pascal, là
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... ascal.html
c'est plus rapidement expliqué : regarde surtout le tableau en bas et les deux phrases au dessus qui expliquent comment on le construit.

[asmiinoth]

Un grand merci à toi Ben314, je pense avoir saisi !!!

par exemple pour exactement 3 "6" sur 6 jets cela donne:

(6
3)

= (6*5*4) / (1*2*3) = 20 posibilités donc:

(1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6) *20 = (125/46656) *20 = 0.05358

j'ai bon ?

par contre pour le tableur là je mis connais vraiment pas mais c'est pas grave
je te remercie encore , à bientôt peut être !!!

[Ben314]

Oui, c'est bon.
bonne chance pour la suite...

P.S. Et si ça t'intéresse pour ta culture générale et/ou pour aller regarder 2 ou 3 trucs sur le net, ton problème, il correspond très exactement à ce que l'on appelle une "Loi Binomiale" en math. (c'est un truc fréquent en calcul des proba)