Probabilités conditionnelles

[BOULET007]

On considere une particule ne pouvant occuper que deux positions A et B .Elle se deplace aleatoirement de l'une à l'autre de la façon suivante :
* au temps 0, la particule est en A
* au temps 1, la particule est soit en A1 ou soit en B1.
* au temps 2, la particule est soit en A2 ou B2 de la branche A1 et la particule est soit en A2 ou B2 de la branche B1
* au temps n, la particule est soit en A, soit en B

On sait que la probabilité pour que la particule ne chmpe pas de position entre les instants n et n+1 est constante. On considère les évènements :
* An : " au temps n la particule est en A "
*Bn : "au temps n la particule est en B"
On note Kn et Tn les probabilités des évènements An et Bn.

1) A l'aide des hypothèses, justifier que K0=1 et Kn+Tn=1.

2)a) Quelle hypothèse permet d'affirmer que PAn(An+1 )ne dépend pas du temps? On note R cette probabilité.

b) Justifier que, pour tout entier naturel n , on a PBn(Bn+1)=R

3) a)Calculer, en fonction de R et Tn, la probabilité de l'évènement Bn (inter) An+1

b)Démontrer quen pour tout entier naturel n, on a : Kn+1=(2R-1)Kn+1-R

c) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, en déduire que pour tout entier naturel n, on a : Kn= (2R-1)^n)/(2) + 1/2

d) Déterminer la limite de la suite (Kn) quand n temps ver + et interpréter le résultat.

Si quelqu'un peut m'aider à commencer cet exo, ça serait vraiment gentil, car je n'y arrive pas...

[nuage]

Salut,

*au temps 0, la particule est en A

ce qui se traduit par K0=1

On sait que la probabilité pour que la particule ne chmpe pas de position entre les instants n et n+1 est constante.

se traduit par : la réponse à la question 2

[BOULET007]

Je peux répondre à la question qu'avec une phrase ou il y a t'il a calcule à faire ?
Merci de ton aide!

[nuage]

Pour les questions 1 et 2 il n'y a aucun calcul à faire. Il s'agit juste de comprendre l'énoncé.

[BOULET007]

Pourrais-tu m'aiguiller un peu pour la question 3a) s'il te plait? Ca serait très gentil :)

[flight]

pour la question 3 il y a juste un p'tit piège

il faut penser que P(B/A)+P(nonB/A)=1 :+++: (1)

et tout devient clair !

on a toujours P(An+1)=P(An+1/An)P(An)+P(An+1/Bn).(1-P(An))
soit P(An+1)=P(An)[P(An+1/An)-P(An+1/Bn)]+P(An+1/Bn)

en appliquant (1) P(An+1/Bn)=1-P(Bn+1/Bn)

comme P(An+1/An)=R et que P(An)=Kn

P(An+1)=P(An)[P(An+1/An)-P(An+1/Bn)]+P(An+1/Bn)=P(An)[P(An+1/An)-(1-
P(An+1/An))]+P(An+1/Bn) ce qui se traduit par

Kn+1=Kn[R-(1-R)]+(1-R)=Kn(2R-1)+(1-R) voila !