Probabilité

[bombastus]

Presque :
(n-10/n)^n-k * 1/(n-10) = (n-10)^(n-k)/n^n-k*1/(n-10)
= (n-10)^(n-k-1)/n^n-k

Comme pour l'autre

[sss61]

ok merci :we:

Pour la suite le 2 c)

c'est a dire lim (n->+inf) P(Sn=k) = e^-10 (10^k/k!)

Je pars de:

P(Sn=k) = (k parmi n) * (10/n)^k * (n-10/n)^n-k

Puis j'ai rajouter ln P(Sn=k) et la j'ai un problème pour le (k parmi n) mais la suite me donne:

ln(10/n)^k + ln(n-10/n)^n-k = k*ln(10/n) + (n-k)*ln(n-10/n)

Mais je sais pas si je vais sur la bonne voie la :hein:

[bombastus]

Non,
Il faut que tu utilises ce que tu viens de trouver, que l'on ait pas fait tous ça pour rien!

Calcules :
si lim n->+inf. de P(Sn=k) = e^-10 * [(10^k)/k!] à quoi est égale :

lim n->+inf. de P(Sn=k+1) = lim n->+inf. de P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1) = ...

[sss61]

j'ai essayer, je suis perdu :cry:

[bombastus]

C'est pas très compliqué :
lim n->+inf. de P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1) = lim n->+inf. de P(Sn=k) * lim n->+inf. de (n-k)/(n-10) * 10/(k+1)

or la lim de P(Sn=k), tu la connais (c'est notre supposition), il te reste à calculer lim n->+inf. de (n-k)/(n-10) * 10/(k+1)

[sss61]

j'ai fais:
limite de n qui tend vers + linfini a chaque fois
lim (n-k)/(n-10) *10/(k+1) (je développe le produit)

lim (10n-10k)/(nk+n-10k-10) (je met n en facteur commun au dénominateur et au numérateur

lim n(10-10k/n) / n(k+1-10k/n-10/n) (on simplifie par n, les limites de l'inverse de n font 0 )

Il reste:

lim 10/(k+1) mais la après comme k on connait pas ca tend vers un nombre l je dirais mais ça colle pas

[bombastus]

C'est n qui tends vers l'infini, pas k,
donc lim (n-k)/(n-10) *10/(k+1) = 10/(k+1)

et tu sais que lim n->+inf. de P(Sn=k) = e^-10 * [(10^k)/k!]

Donc lim n->+inf. de P(Sn=k)* (n-k)/(n-10) *10/(k+1) =....

[sss61]

donc lim (n-k)/(n-10) *10/(k+1) = [(10^k)/k!] ???

[bombastus]

Je crois que tu as raté un épisode...

attends, je vais résumer

[bombastus]

La question :

[quote]c) Démontrez que si lim n->+inf. de P(Sn=k) = e^-10 * [(10^k)/k!] Pour 0 +inf. de P(Sn=k+1) = e^-10* [(10^k+1)*/(k+1)!] pour 0 +inf. de P(Sn=k) = e^-10 * [(10^k)/k!] et on regarde ce que cela donne pour lim n->+inf. de P(Sn=k+1)

lim n->+inf. de P(Sn=k+1) = lim n->+inf. de P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1)

Or tu as trouver que lim (n-k)/(n-10) *10/(k+1) = 10/(k+1)
et on sait que lim n->+inf. de P(Sn=k) = e^-10 * [(10^k)/k!]

donc
lim n->+inf. de P(Sn=k+1) = e^-10 * [(10^k)/k!] * 10/(k+1)
Si tu as compris, ya plus qu'à calculer...

[sss61]

Ha oui lim n->+inf. de P(Sn=k+1) = e^-10 * [(10^k)/k!] * 10/(k+1)

Ca donne e^-10 * 10^k+1 [puisque 10^k*10]/(k+1)! [k!(k+1)

[sss61]

Pour la 2d)

Lim n->+inf P(Sn=k) e^-10 [10^k)k!]

Par récurence sur k, je fais donc la limite n-> P(Sn=k-1)?

[sss61]

et pour la 3 on a n=e^-10 [10^k/k!]
et k =3
pour k! ca fait 3*2*1?

mais pour (k parmi n) on fait ocmment alors??? car moi j'ai toujours des naturel entiers et la je me demande comment faut faire avec une exponentielle :hein:

[bombastus]

Pour la 2d)

Lim n->+inf P(Sn=k) e^-10 [10^k)k!]

Par récurence sur k, je fais donc la limite n-> P(Sn=k-1)?

Non tu fais une récurrence sur k pour montrer que :
Lim n->+inf P(Sn=k) e^-10 [10^k)k!]

Donc c'est un raisonnement classique :
Est-ce que la propriété est vraie en 0?
Si oui, on l'admet pour le rang k, blablabla...
Alors pour le rang k+1, est-ce qu'elle est vrai?

Il faut que tu te serve des questions précédentes, il n'y a rien à calculer!

[sss61]

ok je vais voir ça alors et pour la questions juste après pour le 3 en meme temps stp par rapport au calcul de k parmi n

[bombastus]

Pour la 3 :
On a :
P(Sn=k) = e^-10 * 10^k/k! puisque c'est une approximation acceptable.

Donc tu remplaces k par 3

pour k! ca fait 3*2*1?

Oui, qu'est-ce que ça pourrait être d'autre?
Par contre ou vois-tu du (k parmi n) ??? :hein:

[sss61]

ha non je me suis trompé (je crois que sur cet exercice j'ai atteint les somomes ^^)
on fait juste P(Sn=3) = e^10 [10^3/6] et on a la probabilité :we:

[bombastus]

Yep!

Reste plus que la récurrence, elle n'est vraiment pas compliqué, tout est déjà fait.

[sss61]

Pour la récurence je fait par rapport a la limite pour P(Sn=0) puis je parle directement de p(Sn=k+1) et j'en déduit alors que P(Sn=k) est vraie lui aussi ???

[bombastus]

Tu as déjà fait une récurrence ? :marteau:

Initialisation
Tu vérifies que la propriété est vrai pour le premier rang (k=0)? (question 2. a)). (c'est la limite, mais pareil, on admet que n est assez grand pour virer la limite)

Généralisation
Une fois que c'est fait, on suppose la propriété vrai pour le rang k, alors pour le rang k+1 :
question 2c (c'est la limite, mais pareil, on admet que n est assez grand pour virer la limite)

Conclusion
Donc si elle est vraie pour le rang k+1 .....