Probabilité

[sss61]

Voila je suis pas très doué dans les proba, et j'ai un exo que j'ai beaucoup de mal à faire, et j'aurais besoin de conseils poru le continuer et quelques petites pistes svp.

On observe sur une grande période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante.
Pour n scooters franchissant le carrefour durant une année, on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour, durant cette année, suit une loi binomiale d'espérance mathématiques E(Sn) = 10.
Soit p la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée.

1. Calculez p puis donnez l'expression de P(Sn=k) où k est un entier tel que 0 <(ou égal) k <(ou égal) n.

On a E(Sn) = np
donc 10 = np
Donc p = 10/n

P(Sn = k) = (n) p ^k q^n-k
(k)

2. a) Prouvez que ln[P(Sn=0)] = -10*[ln(1-10/n) / (-10/n)] puis déduisez-en lim n->+infini P(Sn=0) =e^-10

b) Démontrez que pour tout entier k, 0 <(ou=) k <(ou=) n-1:

P(Sn=k+1) = P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1).

c) Démontrez que si lim n->+inf. de P(Sn=k) = e^-10 * [(10^k)/k!] Pour 0 lim n->+inf. de P(Sn=k+1) = e^-10* [(10^k+1)*/(k+1)!] pour 0 < k+1 < n

d) Pouvez en raisonnant par récurrence sur k, que
lim n->+inf. de P(Sn=k) = e^-10 * [(10^k)*k!] (0
3. On suppose que l'entier naturel n est suffisamment grand pour que l'on puisse admettre que e^-10 * 10^k/k! est une approximation acceptable de P(Sn=k). Utilisez cette approximation pour calculer a 10^-4 près, la probabilité qu'au cours de cette année, il y ait au moins 3 accidents de scotters a ce carrefour

[bombastus]

Bonjour,

pour la 2)a,
P(Sn = 0) = (0 parmi n) p ^0 (1-p)^n-0
P(Sn = 0) = (1-p)^n
P(Sn = 0) = (1-10/n)^n

et en calculant ln(P(Sn = 0)), tu devrais arriver au résultat.

[sss61]

merci ca ma permis d'avancer dans cette question,
j'essaye de démontrer la limite mais pas très facile

[bombastus]

Un indice :

il faut penser à la limite :
lim ln(1+x)/x = 1
x->0

[sss61]

j'ai trouver la limite
je suis passer a la question 2.b)
et je n'arrive pas a trouver a quoi peuvent correspondre ou comment retrouver le (n-k)/(n-10) *10/(k+1)

[bombastus]

Il y a plusieurs façon d'y arriver. Je te conseille de partir de P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1) et d'essayer d'aboutir à P(Sn=k+1) (écrit dans un brouillon l'expression de P(Sn=k+1) pour voir ce à quoi tu veux aboutir).

[sss61]

P(Sn=k+1) = (k+1 parmi n) p^k+1 (1-p)^n-k-1

et pour P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1) je trouve que c'est égal à:

[(k parmi n) p^k (1-p)^n-k] * 10(n-k)/(nk+n-k-1)

et je suis bloqué ici.

[bombastus]

Remplace p par 10/n dans les deux expressions.

[sss61]

P(Sn=k+1) = (k+1 parmi n) (10/n)^k+1 (1-10/n)^n-k-1

et donc P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1) est égal à:

[(k parmi n) (10/n)^k (1-10/n)^n-k] * 10(n-k)/(nk+n-k-1)

c'est la multiplication entre [(k parmi n) (10/n)^k (1-10/n)^n-k] et 10(n-k)/(nk+n-k-1) que j'arrive pas a faire, je vois pas comment ca peut donner P(Sn=k+1)
je trouve pas la relation :s

[bombastus]

Il ne faut y aller calmement, ça va venir tout seul :we:

P(Sn=k+1) = (k+1 parmi n) (10/n)^k+1 (1-10/n)^n-k-1
Donc
P(Sn=k+1) = (k+1 parmi n) (10/n)^k+1 ((n-10)/n)^n-k-1

celle-là on la laisse de côté pour le moment, c'est le résultat que l'on devra trouver.

P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1) est égal à:

[(k parmi n) (10/n)^k (1-10/n)^n-k] * 10(n-k)/(nk+n-k-1)

Il ne faut pas développer les parenthèses!
P(Sn=k) * (n-k)/(n-10) * 10/(k+1) = [(k parmi n) (10/n)^k ((n-10)/n)^n-k] * 10(n-k)/(nk+n-k-1)
Donc (j'ai juste développé k parmi n)


Si tu as bien suivi, essaye de voir ce que tu peux modifier pour arriver au résultat voulu.

[sss61]

je te remercie, pour ton aide,
alors je pensait a un arrangement avec le (n-k)/(n-10) qui a linverse peut donner par la suite exposant -1 mais ca me parrait pas très juste :s

après je vois pas trop :s
ca ménerve :briques:

[bombastus]

Le calcul n'est pas facile (il y a beaucoup de termes).




J'arrange un peu la formule pour te mettre sur la voie :


Essaye d'arranger ces différentes expressions :

[sss61]

n!/k!(n-k)! = n(n-1)...(n-k+1)*(n-k)/[k! * (k+1)]

(10/n)^k *10 je sais pas

(n-10/n)^n-k 1/(n-10) = (n-10/n)^n-k-1

Les exposant avec les lettres me gènent pas mal et avec les factoriel j'ai du mal

[sss61]

pour le deuxième il me semble avoir une illumination :happy2:

(10/n)^k *10 = 10^k/n^k *10 et
10^k *10 = 10^k+1
enfin il me semble mais j'en suis vraiment pas sur

[bombastus]

L'illumination pour le deuxième est bonne :we:

On va continuer avec celle-là :

Ce que tu as écrit :

n!/k!(n-k)! = n(n-1)...(n-k+1)*(n-k)/[k! * (k+1)]

tu développes trop!
=

Maintenant, k!(k+1)=...

[sss61]

ha ca va si elle est bonne c'est déja ça :happy:

alors pour
n-k/(n-k)! = 1/(n-k+1)

k!(k+1)= je cherche :hein:
le k! me gène, je ne sais pas comment le transformerou a quoi c'est égal

[bombastus]

n-k/(n-k)! = 1/(n-k-1)!
C'est plutôt ça...

k!=k(k-1)(k-2)...*2*1
k!(k+1)=(k+1)k(k-1)(k-2)...*2*1
= ...

[sss61]

k!=k(k-1)(k-2)...*2*1
k!(k+1)=(k+1)k(k-1)(k-2)...*2*1
= (k+1)! ???

[bombastus]

Oui!! maintenant que tu l'as vu, tu devras savoir refaire ce type de calcul.

[sss61]

j'ai regarder en calculant et en remettant tou dans l'ordre et ca me donne presque comme l'autre expression de P(Sn=k+1)

Il me reste plus ça a savoir si c'est bon:

(n-10/n)^n-k * 1/(n-10) = (n-10/n)^n-k-1