Probabilité

[jeremy58]

Bonjour,
Voila un exercice de probabilité:

sur un marché dont un produit A avait le monopole,un nouveau produit B est mise en vente à partir de 2001. D'une année sur l'autre, 60% de la clientele de A reste fidele à A, tandis que 30% de la clientele B passe à B. Pour l'ensemble des deux produits, la clientele ne change pas.
On appelle An l'evenement :"un client pris au hasard achete A l'année 1997+n"
On appelle Bn l'evenement :"un client pris au hasard achete B l'année 2000+n"
On ote pn la proba de An et qn celle de Bn. On a donc p0=1 et q0=0.
1)quelle relation simple a-t-on entre pn et qn.

J'ai un peu de mal dans la comprehension de cet exercice, et du coup je n'arrive pas à repondre à la premiere question.
Merci d'avance pour votre aide

[Flodelarab]

pn+qn=1
Soit les gens achètent A, soit ils achètent B.

[jeremy58]

Merci beaucoup, c'est vrai que maintenant que j'ai la reponse cela parait evident. Mais cet enoncé ne me plait pas beaucoup.
Dans la meme question, on nous demande de montrer pour tout n que
pn+1=0,3pn+0,3.
J'ai pensé le faire par récurrence mais nous n'avons pas réellement d'autre propriété, du coup il faut surement procédé avec un arbre, mais je n'arrive pas à le construire.
Pourriez-vous m'aider? Merci

[Huppasacee]

En effet, le raisonnement par récurrence n'est pas le plus indiqué pour la formule demandée


Ce qu'il faut, c'est dire :

on part de l'année n, qn est la proportion de clients du produit B. Combien parmi cette proportion achèteront encore le produit B l'année suivant ( et qui donc feront partie de la proportion qn+1 )
les autres clients passeront au produit A ( et compteront parmi les pn+1 )

pn est la proportion achetant le produit A l'année n
combien de ceux ci passeront au produit B ( et donc feront aussi partie des qn+1)
Et combien resteront fidèles au produit A ( et par coséquent complèteront les pn+1)

Cela peut constituer les ramifications de l'arbre partant de l'année n

[jeremy58]

Merci, mais je ne trouve pas le bon résultat.
je suis vraiment désolé de vous deranger encore.
mon arbre donne ca :

Année n Année n+1
--------------------------60%
---------------------------------------A :pn+1 (*)
pn: A-------------{
---------------------------------------B :qn+1
--------------------------40%



--------------------------30%
---------------------------------------A :pn+1 (**)
qn: B-------------{
---------------------------------------B :qn+1
--------------------------70%

alors je trouve que pn+1=pn +

Le premier nombre vient de (*) et le deuxieme de (**).
Par simplification, on obtient:
pn+1=0,6pn+0,3.
Je ne trouve pas pn+1=0,3pn+0,3, alors je pense me tromper dans le raisonnement!
Merci pour votre aide.

[jeremy58]

Je me permet de relancer mon sujet n'ayant pas de nouvelles reponses.
Merci d'avance

[Huppasacee]

Bonsoir

Tu as posté :

alors je trouve que pn+1=\frac{60}{100}pn + \frac{30}{100}


Tu as simplement oublié de multiplier par qn la dernière partie
pn+1 = 60/100pn + 30/100qn

et en tenant compte de l'observation de Flodelarab , tu auras la relation demandée