Probabilité

[Phymathi]

Bonsoir a tous,

On me demande de répartir 9 boules dans 4 cases et de calculer la probabilité :
A : aucune case ne soit vide
B : 5 boules dans une case, 3 dans une autre case, 2 dans celle qui reste??
J'ai fait :
Card (univers) = 4^9
Card (A) = 1^5 * 1^4 * 1^2
Card (B) = 1^9 * 1^8 * 1^7 * 1^6
Mais j'ai l'impression d'avoir faux?
Bonne soirée

[pascal16]

4^9 : tu surestimes le résultat.
là tu as a 4 tirages de 9 boules indépendantes, hors là, les tirage sont liés

Il y a en gros 2 façon de le voir :
_ par des partitions d'un ensemble à 9 éléments (plus au programme)
_ par le théorème de l'allumette(on le fait des fois au collège avec des bâtons, on a plus droit aux allumettes).

théorème de l'allumette du collège
soit o une boule et I une allumette. Pour définir une partition en 4 de mes 9 boules, il me faut 3 allumettes :
position initiale ; oooooooo
position finale : oooIooIoooIo : est la partition 3 boules-2 boules-3 boules-1 boule.

[Pseuda]

Bonjour,

Dans cette solution, on ne différencie pas les boules (soit 3 parmi 12 façons de placer les allumettes donc les boules). Pour la 1), il s'agit de compter le nombre de façons de placer les 3 allumettes en évitant les bords et sans que 2 allumettes se touchent.

Une autre façon en différentiant les boules. Il y a 4^9 possibilités de rangement. On compte le nombre de possibilités de l'événement contraire : au moins 1 case vide = nombre de façons de ranger les boules avec 3 cases vides exactement, 2 cases vides, 1 case vide :
- 3 cases vides : 4 possibilités de choisir la case remplie, puis toutes les boules dans la même case,
- 2 cases vides exactement : 6 façons de les choisir x (le nombre de façons de placer les boules dans 9 cases (2^9) - le nombre de façons avec 1 autre case vide : 2)
- 1 case vide exactement : 4 façons x (nombre de façons de répartir dans 3 cases (3^9) - nombre de façons avec 1 autre vide exactement - nombre de façons avec 2 autres cases vides exactement : 3).

[chan79]

Salut
En différenciant les boules , applications de {1,2,3,4,5,6,7,8,9} dans {1,2,3,4} dont 186480 surjections.

[pascal16]

pour le cardinal total, moi j'ai, poar le théorème de l'allumette : 10*10*10 = 1000 cas possibles
Card(univers)=1000

Card (A) = 1^5 * 1^4 * 1^2
ça vaut 1

par le rajout sur théorème de l'allumette :
Pour la première allumette : 8 positions, pour la seconde : 7 et la dernière : 6.
Que 336 cas possibles sans différencier les boules.
Card(A)=336

[Pseuda]

pour le cardinal total, moi j'ai, poar le théorème de l'allumette : 10*10*10 = 1000 cas possibles
Card(univers)=1000

Card (A) = 1^5 * 1^4 * 1^2
ça vaut 1

par le rajout sur théorème de l'allumette :
Pour la première allumette : 8 positions, pour la seconde : 7 et la dernière : 6.
Que 336 cas possibles sans différencier les boules.
Card(A)=336

Bonsoir,

Quel est ton raisonnement pour trouver 1000 et 336 ? Il y a 9 boules et 3 allumettes, cela fait 12 objets, et 9 positions possibles parmi 12 pour les boules.

[pascal16]

T'as raison, c'est pas ça, j'en dénombre de trop 2-3-4 et 4-3-2 donne les mêmes ensembles

on choisi la position des 3 allumettes parmi les 12 objets.
ou 9 boules parmi 12 objets
ça fait la même chose nCr(12,3)=220
Card(univers)= 220

Pour le 'sans vide'
si on part de placer les allumettes entres les boules, on a 8 cas possibles pour la première, 7 pour la seconde et 6 pour la 3ième, on revient à 336, mais il faut enlever les arrangements, qui divisent par 6 le résultat, soit 56 cas.
Card(A) =56

sur deux univers différents, la proba doit rester la même p(A) = 56/220 = 14/55, as-tu pareil ?

[Pseuda]

Par contre, placer les allumettes pour qu'il n'y ait pas de case vide, c.a.d. ni au début ni à la fin ni 2 allumettes qui se touchent, je ne vois pas.

Avec le nombre de surjections de Chan, j'arrive pratiquement au même résultat.

[pascal16]

B : 5 boules dans une case, 3 dans une autre case, 2 dans celle qui reste??

ça fait 10 boules??
c'est pas plutôt : 5 boules dans une case, 3 dans une autre case, 1 dans celles qui restent
c'est aussi combien on peut écrire de nombres différents avec 1 seule occurrence des chiffres 8,5,1 et 0.
Card(B)= 4*3*2*1=24
p(B)=6/55

[Pseuda]

Pour P(A), cela fait une proba d'environ 0,7. Cela ne doit pas être ça.

Le résultat (probabilité de pas de case vide) est bien sûr le même, que les boules soient différenciées ou non.

[chan79]

la proba d'obtenir (1,1,1,6) soit une boule dans les 3 premières cases et le reste dans la quatrième est:
P(1,1,1,6)=(9*8*7)/(4^9)=504/(4^9)
P(1,1,2,5)=(9*8*21)/(4^9)=1512/(4^9)
...
probas différentes
on ne peut pas faire 56/220

[Pseuda]

Bonjour,

P(A) :
nombre de possibilités de rangement au total : 4^9=262144
- nombre avec 3 cases vides = 4
- nombre avec 2 cases vides = 6*(2^9-2) = 3060
- nombre avec 1 case vide = 4*(3^9-3*(2^9-2)-3)= 72600
reste = 186480.
Soit le même résultat qu'avec les applications surjectives.

[chan79]

Bonjour,

P(A) :
nombre de possibilités de rangement au total : 4^9=262144
- nombre avec 3 cases vides = 4
- nombre avec 2 cases vides = 6*(2^9-2) = 3060
- nombre avec 1 case vide = 4*(3^9-3*(2^9-2)-3)= 72600
reste = 186480.
Soit le même résultat qu'avec les applications surjectives.

OK
On retrouve, en rouge le nombre de surjections sur {1,2} soit 510
et en vert, le nombre de surjections sur {1,2,3} soit 18150

Pour la B, il faudrait préciser le texte

[pascal16]

Je confirme mes résultats (après correction et test avec 5 boules et 3 cases faisable à la main puis vérif google) pour des boules indiscernables :
card(univers) = nCr(12,3) =220
card(A)=56

formule générale pour b boules dans c cases
card(univers) = nCr(b+c-1,c-1) = nCr(b+c-1,b)
card(A)=fact(b-1) / fact(c)

dans le cadre de boules numérotées, c'est votre réponse commune qui est la bonne

[chan79]

Salut
Petite vérif avec un tableur
A la ligne 1, dans les colonnes de A à I, on met un entier au hasard appartenant à {1;2;3;4}. Dans la colonne J, on met le nombre de 1 obtenus, et de même dans les colonnes K, L et M, le nombre de 2, 3 et 4 obtenus. Dans la colonne N, si le produit des 4 nombres précédents est nul, on met 0, sinon on met 1.
On tire vers le bas pour faire l'expérience par exemple 20000 fois.
On additionne les nombres de la colonne N (cellule N20002) et on divise par 20000. On obtient bien un nombre un peu plus grand que 0.7 (cellule N20004)
Que les boules soient numérotées ou non, le résultat est le même, à mon avis.
Cliquer sur le dessin pour agrandir.

[Pseuda]

Je confirme mes résultats (après correction et test avec 5 boules et 3 cases faisable à la main puis vérif google) pour des boules indiscernables :
card(univers) = nCr(12,3) =220
card(A)=56

dans le cadre de boules numérotées, c'est votre réponse commune qui est la bonne

Bonsoir,

? nCr(12,3), c'est pour 9 boules et 4 cases.

Je ne vois pas ce qui change dans la probabilité d'aucune case vide, que les boules soient numérotées ou non. Cela fait 2 univers différents, avec chacun leur probabilité, mais le résultat est intuitivement et évidemment le même, confirmé par le test de Chan.
Ce que je trouve bizarre, c'est qu'on devrait trouver un nombre entier pour : 220 * 186480 / 262144, or ce n'est pas le cas.

[chan79]

Si on prend comme univers les 220 dispositions, il n'y a pas équiprobabilité et 56/220 ne convient pas, je pense.

[Pseuda]

Mais oui bien sûr. On ne peut donc pas faire le calcul avec des boules indiscernables, du moins pas de cette façon-là. On est dans le cas d'un tirage avec remise et sans ordre (cela revient à tirer 9 fois de suite avec remise une boule dans une urne contenant 4 boules numérotées de 1 à 4, et à calculer la proba qu'il n'y ait pas de n° manquants), le plus difficile à calculer.