Probabilité: Joueurs

[ice_scream]

Bonjour à Tous!
Voilà enfaite j'ai un exercice de maths que je n'arrives pas très bien à faire. C'est un exercice sur la probabilité. Si quelqu'un pourrait m'aider à le faire, ça serait trop simpas. Je vous remercie d'avance.

Voici l'énoncé:

Deux joueurs A et B convienent du jeu suivant, qui se présente comme une succession de parties:
-au départ A et B misent chacun 1 euro et lancent chacun une pièce bien équilibrée, c'est-à-dire amenant avec une égale probabilité soit "pile" soit "face";
-si A amène "pile" et B "face", le jeu s'arrête, A gagne et récupère la mise;
-si B amène "pile" et A "face", le jeu s'arrête, B gagna et récupère la mise;*-dans les autres cas, la parti est nulle, les joueurs doublent la mise et engagent une nouvelle partie.

Et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant ou que la vingtième partie s'achève sur nul (auquel cas les joueurs récupèrent leurs mises respectives).
Pour tout entier n compris entre 1 et 20, on considère les évènements:
-A indice n: "le jeu se termine à la n-ième partie par la victoire de A";
-B indice n: "le jeu se termine à la n-ième partie par la victoire de B";
-N indice n: "la n-ième partie est nulle".

On note x indice n la probabilité de A indice n, y indice n la probabilité de B indice n et z indice n la probabilité de N indice n.

1. a. Calculer x indice 1, y indice 1 et z indice 1.
b. Montrer que, pour n entier compris entre 1 et 19, on a:

x indice n+1=(1/4) * z indice n

y indice n+1=(1/4) * z indice n

et z indice+1=(1/2) * z indice n

c. En déduire, pour tout n entier compris entre 1 et 0, les expressions en fonction de n de x indice n, y indice n et z indice n.

2. On considère la variable aléatoire X égale eu nombre d'euros mis en jeu de la partie qui conclut le jeu (c'est-à-dire récupérés par le gagnant ou partagés entre les deux joueurs dans les cas où le jeu s'achève sur un nul). Si le jeu s'achève à la k-ième partie, on a ainsi: X=2^k.

a. Donner la valeur exacte de la plus grande valeur que peut prendre X.
b. Calculer P(X=2^20).
c. Pour k entier compris entre 1 et 19, exprimer l'évènement "X=2^k" à l'aide des évènements A indice k et B indice k.
d. Calculer l'espérance mathématique de X.

Merci d'avance. :happy2: