Probabilité conditionnelle

[carter7gindenv]

Bonjour, ayant la joie de bloquer sur un concept de probabilité je me tourne pour la 1ère fois vers se forum. Étant étudiant en Suisse je ne connais pas bien quel niveau de math correspond à quel degré scolaire, donc si c'est pas le bonne endroit, qu'un modérateur ne se gêne pas pour déplacer ce topic.

L'exercice en soit est simple. Là ou je bloque c'est que le cours et la correction ne donne pas la même résolution pour le même exercice.

Exercice :

Une urne contient 8 boules rouges et 4 boules noires. On tire successivement 2 boules sans remises. Qu'elle est la probabilité que la 1ère soit noire et que la 2ème soit rouge? note: le cours utilise le même exercice mais change juste les valeurs et précise "probabilité conditionnelle".

On à donc P(A) = proba que la 1ère soit noire = 4/12
P(B) = proba que la 2ème soit rouge = 8/11 [car il n'y a plus que 11 boules après le 1er tirage]
et donc il faut résoudre : P(B|A) = ?

La correction utilise le théorème de Bayes et obtient : 4/11
Le cours ( pour un exercice identique ) fait se que j'ai essayé de faire:
P(B|A) = P(B n A)/P(A) = P(A)*P(B) / P(A) = P(B) = 8/11

Je cherche depuis 1h le détail qui m'échappe dans l'énoncée ou si j'ai fais des fautes de calcul mais visiblement non. Une idée? Je précise que le cours est sous forme de polycopié donc pas d'erreur de copie.

Merci d'avance pour l'aide

carter7gindenv

Note : :mur:

[Ben314]

Salut,
Si la question est effectivement : "Qu'elle est la probabilité que la 1ère soit noire et que la 2ème soit rouge ?"
Alors, tu n'as aucun besoin d'utiliser la notion de proba conditionnelles pour répondre à la question : la proba est de épicétou.

[carter7gindenv]

Alors justement non. Dans les deux cas c'est bien précisé que l'on désire connaître la probabilité que la 2 soit rouge en sachant que la 1 est noire soit P(B|A) et donc ce n'est pas P(A)*P(B).

Le calcule P(B|A) est d'ailleurs le point de départ dans les deux cas donc c'est on ne peut plus certain. Et j'insiste sur cette formulation car c'est exactement comme ça que les deux commencent.

Si je suis bêtement les formulaires : P(B|A)=P(A)*P(B) / P(A)
mais le corriger pose: P(B|A)= th.Bayes

Je sais que les probabilités sont contres intuitives mais n'y a t-il pas déjà un problème là? J'ai pensé à l'indépendance mais cela ne peut pas être le cas vu que les deux exercices utilisent des données dépendantes. Si c'est bien cela alors le cours est faux et je devrais parler au prof.

merci par ailleurs pour la réponse rapide.

Note:


[edit] le th. bayes en question est : P(A|B)= P(B|A)P(A) / [P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac)]

[Ben314]

Ah, ben alors, si c'est "précisé dans l'énoncé"...
Il n'empêche que ça :

Une urne contient 8 boules rouges et 4 boules noires. On tire successivement 2 boules sans remises. Qu'elle est la probabilité que la 1ère soit noire et que la 2ème soit rouge?

il me semble pas que ça se soit écrit tout seul, non ?

Sinon, de "suivre bêtement le formulaire", a mon sens, c'est la pire des méthode à employer dans un contexte scientifique (et je suis pas persuadé que ce soit mieux dans les autres domaines) :
- On comprend que dalle à ce qu'on écrit donc on mélange tout (par exemple les ET avec les SACHANT QUE)
- On écrit n'importe quoi vu qu'on cherche pas à donner de sens à ce qu'on écrit, par exemple P(B|A)=P(A)*P(B) / P(A) qui est débile vu que, si c'était le cas, ça se simplifierais par p(A) et ça ferait p(B|A)=p(B) a tout les coups ce qui serait évidement sans aucun intérêt.
- On est incapable de voir si le résultat qu'on trouve est cohérent ou pas vu qu'on a pas la moindre idées de ce que les calculs qu'on a fait signifient, donc on écrit placidement que "la longueur du terrain de Foot est de 7,3mm", ou que "la proba d'avoir truc est de -53.17".
- On a depuis déjà de nombreuses années un truc qui s'appelle un ordinateur capable d'appliquer à la lettre (et on ne peut plus bêtement) des formules qu'on lui donne et il le fait plus vite et avec moins de risque d'erreur de calcul que n'importe qui. Par contre, il ne "comprend" que dalle.

Dernière remarque : je ne dirais vraiment pas que les probas sont "contre intuitives".

Bon, sinon, revenons à nos moutons :
Si ce que tu as à calculer est la probabilité que la deuxième soit rouge sachant que la première est noire, je trouve que c'est très con d'utiliser une quelconque "formule bêtement apprise par cœur" :
Si la première tirée est noire, alors il reste 8 blanches sur un total de 8+3=11 donc il y a une proba de 8/11 de tirer une blanche.

Et, si tu tient absolument à utiliser une "formule" (ce qui a mon sens est une bonne façon de passer pour un con dans un tel contexte...) tu peut écrire que puis vérifier que et que
Puis éventuellement te dire que :
- Le qui va se simplifier dans la fraction, ben c'était peut-être pas la peine de le calculer...
- La façon dont on a calculé le , ben elle repose au fond sur un calcul de proba conditionnel (qu'il est pas forcément utile de voir pour comprendre le résultat).

Enfin, vu que tu as l'air de mélanger à peu près tout (y compris les questions), je me demande si la question de départ n'était pas plutôt de déterminer la probabilité que la première soit noire sachant que la deuxième est rouge (qui demanderais un peu plus de réflexion...)

[carter7gindenv]

Ah, ben alors, si c'est "précisé dans l'énoncé"...
Il n'empêche que ça :il me semble pas que ça se soit écrit tout seul, non ?

Désolé d'avoir fait une erreur alors que quant on lit l'ensemble c'est clair

Sinon, de "suivre bêtement le formulaire", a mon sens, c'est la pire des méthode à employer dans un contexte scientifique

En même temps pour le cas exposé tu a pas besoin de reflechir pour appliquer une formule du type A+B=C. C'est le principe d'un formulaire, voir au premier coup d'oeil une relation et sa veut pas dire qu'on ne comprend pas se qu'il y à derrière.

- On comprend que dalle à ce qu'on écrit donc on mélange tout
- On écrit n'importe quoi vu qu'on cherche pas à donner de sens à ce qu'on écrit, par exemple P(B|A)=P(A)*P(B) / P(A) qui est débile vu que, si c'était le cas, ça se simplifierais par p(A) et ça ferait p(B|A)=p(B) a tout les coups ce qui serait évidement sans aucun intérêt.

A oui c'est clair que ma question était complètement incompréhensible... ah et désolé de mettre les formules ENTIERE pour bien indiquer mon résonnement et pour que les autres puissent voir ou sa coince...

- On est incapable de voir si le résultat qu'on trouve est cohérent ou pas vu qu'on a pas la moindre idées de ce que les calculs qu'on a fait signifient

Si c'était le cas j'aurais jamais été foutu de voir que je comprenais pas un truc non? (BTW en proba tu trouve vraiment qu'un résultat est facilement identifiable comme faux? si oui retourne donner des cours à des surdoués...)

- On a depuis déjà de nombreuses années un truc qui s'appelle un ordinateur capable d'appliquer à la lettre (et on ne peut plus bêtement) des formules qu'on lui donne.

Si j'appliquais a la lettre sans reflechir je serais pas venu poser une question dans le but de comprendre...

Dernière remarque : je ne dirais vraiment pas que les probas sont "contre intuitives".

Alors là je sais pas se qu'il te faut, je donnerais un seul exemple : Le problème de Monty Hall

Enfin pour ton explication je soulignerais encore une fois que c'est gentil d'insister que je suis idiot et que je devrais t'écouter mais tu répond encore à côté :
mon PROF à donner 2 méthodes différentes des tiennent qui ne donne pas le même résultat et je n'arrive pas à discerner le comment du pourquoi. Si toi tu m'en donne une troisième sans me parler de mon problème c'est que tu fais comme moi, tu applique une formule bêtement. Tu ouvre un topic, lis l'ennoncer répond et ne cherche pas à voir ou la personne bloque réelement. ( nan parceque entre mon prof et toi je pense que le résultat de mon prof est plus crédible )

Au final désolé si tu à pensé en premier lieu que je te prenais pour un idiot mais ce n'étais pas le cas. En revanche vu ta manière de t’énerver comme si j'étais le pire élèves qui soit je me permet de te dire que ce n'est vraiment pas correct. Si tu estimait que ce n'était pas clair, demande une réécriture approfondie plutôt que d'être agressif. Les proba demandent une écritures extrêment clair qu'il n'est pas nescessairement facile d'avoir surtout après des heures de travailles. Eventuellement si la personne à l'air de galéré a se point a écrire un énoncer, peut être demander si l'énoncé lui même n'est pas mal écrit?

Bref ton calcul n'est encore une fois pas le bon ou en tout cas dans mon contexte. J'essaierais plus tard d'être encore plus précis mais la je dois m'absenter

[Ben314]

Le "problème de Monthy Hall", je me souvient parfaitement bien du fait que, la première fois que j'en ait entendu parler (il y a environ 30 ans), j'ai vraiment pas compris que certains puisse appeler ça un "paradoxe", j'ai même cru que le type qui m'en parlait se foutait de ma gueule.
Pour ne rien te cacher, je t'avoue que 30 ans après, je comprend toujours pas et je continue à avoir l'impression que ceux qui y voient un "paradoxe", ben c'est qu'ils ont mal lu l'énoncé et qu'ils pensent que le présentateur ouvre une porte "au pif".

[Ben314]

Bon, sinon, reprenons tout :

On à donc P(A) = proba que la 1ère soit noire = 4/12 <= O.K.
P(B) = proba que la 2ème soit rouge = 8/11 [car il n'y a plus que 11 boules après le 1er tirage] <= FAUX : ça c'est justement la proba que la deuxième soit blanche sachant que la première est noire : quand tu écrit qu'il y a 8 blanches (et pas 7) sur 11 restantes, c'est que tu t'es placé dans le cas où la première tirée est noire.
et donc il faut résoudre : P(B|A) = ? <= Y'a rien à résoudre vu que le p(A|B) c'est ce qui a été calculé à la ligne juste audessus

La correction utilise le théorème de Bayes et obtient : 4/11 <= N'a rien a voir avec la question posée : le "théorème" en question (dont la preuve tient moins d'une ligne) est utile lorsque tu connait des proba conditionnelle du typep(A|B) et que tu veut en déduire celle du type p(B|A).
Ici, par exemple, ça serait utile si on demandait de calculer p(B1=N|B2=B) qui n'est pas "naturelle" du tout et pour calculer cette proba, on utiliserais la valeur p(B2=B|B1=N) et de p(B2=B|B1=B) qui elles sont faciles à calculer.
Le cours ( pour un exercice identique ) fait se que j'ai essayé de faire:
P(B|A) = P(B n A)/P(A) = P(A)*P(B) / P(A) = P(B) = 8/11 <= FAUX : A et B ne sont pas indépendants donc p(AnB) n'est pas égal à p(A)*p(B)

Avec ça , ça te va ?

[Ben314]

Je te propose une autre option, comme ça tu piochera tout les résultats que tu veut pour voir.
Dans cet exo, si on note
= La première boule est noire / pas noire
= La deuxième boule est rouge / pas rouge
Alors, les calculs qu'on peut faire (quasi obligatoirement dans cet ordre) sont :
1) ; : cas favorable/cas total
2) ; ; ; : toujours avec uniquement cas favorable/ cas total et rien d'autre pour le moment.
3) On en déduit ensuite par exemple,
que
que
que
etc...

[carter7gindenv]

Yep comme sa ça répond parfaitement à mes questions!

Mais du coup si tu à effectivement raison, les deux correction du prof sont les deux fausses se qui m'étonne beaucoup. Je dois dire que quand j'avais fais l'exo la première fois je l'ai réalisé comme toi et j'avais été vraiment étonné de la solution. Je penche donc plutôt dans les deux cas pour un énoncé foireux.

C'est peut être un abus de language mais nous lorsque l'on parle du Th. de Bayes c'est celui la:
P(A|B)= P(B|A)P(A) / [P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac)]

Voici l'énoncer d'origine :
"On tire successivement sans remise 2 boules d'une urne qui contient 8 boules rouges et 4 boules
noires. Sachant que la deuxieme boule est rouge, quelle est la probabilite que la premiere soit noire ?"

Rassure moi, écrit comme ça c'est normale que je considère que le type de la seconde boule ne puissent pas influencer la première et donc de considéré que c'est simplement la proba que la première boule tirée soit noire?
Parce que le correctif dit :" Soit A l'événement La première boule tirée est noir et B l'événement La seconde boule tirée est rouge. On veut calculer P(B|A)."

Lu comme cela c'est bien "la proba que la seconde tirée soit rouge en sachant que la première est noire"?

j’espère que ça met un peu mieux en lumière mon incompréhension.

[Ben314]

C'est peut être un abus de language mais nous lorsque l'on parle du Th. de Bayes c'est celui la: P(A|B)= P(B|A)P(A) / [P(B|A)P(A) + P(B|Ac)P(Ac)

Oui, c'est bien ça, mais perso., vu que ça prend une demi ligne à redémontrer (et que ça permet de d'utiliser un peu toutes les formules à savoir concernant la proba d'une intersection, les proba conditionnelles, etc... et donc que ça permet de se les "approprier") j'incite plus que fortement les étudiants à ne pas apprendre par cœur ce résultat mais à le redémontrer à chaque fois (perte de temps environ égale à 30 secondes...)

"On tire successivement sans remise 2 boules d'une urne qui contient 8 boules rouges et 4 boules noires. Sachant que la deuxieme boule est rouge, quelle est la probabilite que la premiere soit noire ?"

Donc, (et je le sentait venir gros comme une maison :ptdr: ), la proba qu'on te demande de calculer
- N'est pas celle que la 1ère soit noire et que la 2ème soit rouge (contrairement à ce que tu dit dans ton premier post)
- Ni celle que que la 2 soit rouge sachant que la 1 est noire (contrairement à ce que tu dit dans ton deuxième post)
- Mais bien celle que la 1 soit noire sachant que la 2 est rouge.
Et les calculs a faire pour trouver cette fameuse proba sont très exactement... ceux de mon post précédent (j'ai une boule de cristal posée sur mon bureau... :zen:).

Rassure moi, écrit comme ça c'est normale que je considère que le type de la seconde boule ne puissent pas influencer la première et donc de considéré que c'est simplement la proba que la première boule tirée soit noire?

Ben... non...
Tu devrait te dire que, si on tirait toutes les boules (il est bien important de comprendre que c'est un tirage sans remise) alors au total on aurait évidement tiré 4 noires et 8 rouge et que si on te donne comme info. par exemple que la 2ième tirée est une rouge, ben ça diminue évidement la proba que la première tirée soit rouge (ainsi que la proba que la 3em tirée soit rouge, etc...).
Pour prendre un exemple débile, supposons qu'on tire 5 boules et qu'on te demande la proba que la première boule tiré soit noire sachant que la deuxième, troisième, quatrième et cinquième boule tirées sont toute les 4 noires. Tu en pense quoi ?
(si ça ça te semble "contre intuitif", je pense qu'il faut définitivement arrêter les probas... :marteau:)

Parce que le correctif dit :" Soit A l'événement La première boule tirée est noir et B l'événement La seconde boule tirée est rouge. On veut calculer P(B|A)."
Lu comme cela c'est bien "la proba que la seconde tirée soit rouge en sachant que la première est noire"?

Oui, c'est bien ça, la notation p(B|A) signifie "probabilité d'avoir B sachant A"

[carter7gindenv]

Je te rassure j'essaie toujours ( ou presque :lol2: ) de comprendre le concept derrière la formule et de savoir les triturer dans tout les sens.

la proba qu'on te demande de calculer (...)
- Mais bien celle que la 1 soit noire sachant que la 2 est rouge.

Ok ça c'est bon. J'avais aussi compris dans se sens à la base. Mais la correction pose P(B|A) donc justement l'inverse : proba que la 2 soit rouge sachant que la un est noire. Donc c'est une erreur.
Pour sa j'irais discuter avec le prof.

Pour prendre un exemple débile, supposons qu'on tire 5 boules et qu'on te demande la proba que la première boule tiré soit noire sachant que la deuxième, troisième, quatrième et cinquième boule tirées sont toute les 4 noires. Tu en pense quoi ?

Que l'exemple est nikel! j'avais pas vu sa sous cet angle! Forte chance que je me fasse encore avoir à l'avenir mais au moins j'y réfléchirais à deux fois :ptdr:

(si ça ça te semble "contre intuitif", je pense qu'il faut définitivement arrêter les probas... :marteau:)

ça tombe bien. Si je le réussi se sera mon dernier examen de math de ma formation universitaire! Et je n'aurais """"""""""plus jamais besoin des proba"""""""
C'est vraiment un domaine bizarre, autant j'ai des amis qui galère avec les intégrales et le vectorielle mais qui gère les probas, autant moi c'est l'inverse :marteau:

Bon pour se topic je pense qu'on peut dire qu'il peut être clos. Mes questions on eut réponses.

Merci encore de ton aide