Primitive d'une fonction

[sella31]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre la question suivante:

F(x)= (x+1/2)*ln(2x+1)+e^-x

(le e^-x signifie exponentielle -x)

démontrer que F est une primitive de f(x)= ln(2x+1)-(e^-x)+1

Je dérive F(x) pour arriver à f(x) mais je suis bloqué lorsque j'arrive à:

F'(x) = ln(2x+1)+(e^-x)-(x*e^-x)-(1/2*e^-x)

Pourriez vous m'aidez s'il vous plait?

[Thomas Joseph]

Tu te trompes sur la dérivée de ln(2x+1)
Pour rappel la dérivée de ln(x) est 1/x,
en conséquence celle de ln(2x+1) est égale à 2/(2x+1).

[sella31]

Tu te trompes sur la dérivée de ln(2x+1)
Pour rappel la dérivée de ln(x) est 1/x,
en conséquence celle de ln(2x+1) est égale à 2/(2x+1).

Effectivement mais ici j'ai affaire à un produit donc j'utilise la formule u'*v + u*v'
ainsi j'arrive bien au résultat que j'ai trouvé ais je reste bloqué..

[Thomas Joseph]

J'utilise la même propriété que toi bien entendu :
F(x)= (x+1/2)*ln(2x+1)+e^-x
F'(x)=ln(2x+1)+(x+1/2)*2*(1/(2x+1))-e^-x
F'(x)=ln(2x+1)+(2x+1)/(2x+1)-e^-x

Je te confirme donc que tu te trompais dans la dérivée de ln.
[ln(u]'=u'/u

[sella31]

J'utilise la même propriété que toi bien entendu :
F(x)= (x+1/2)*ln(2x+1)+e^-x
F'(x)=ln(2x+1)+(x+1/2)*2*(1/(2x+1))-e^-x
F'(x)=ln(2x+1)+(2x+1)/(2x+1)-e^-x

Je te confirme donc que tu te trompais dans la dérivée de ln.
[ln(u]'=u'/u

Je ne comprend pas comment tu es passé de la première ligne à la deuxième...

u(x)= x+1/2 v(x)= ln(2x+1)+e^-x
u'(x)= 1 v'(x)= 2/2x+1 - e^-x

Ainsi on rassemble grâce a la formule u'v*uv'

F'(x) = (1*ln(2x+1)+e^-x) + (x+1/2)*(2/2x+1 - e^-x)
F'(x) = ln(2x+1)+ e^-x + (2/2x+1)/(2/2x+1) -(xe^-x)-1/2e^-x

et je suis bloquée la....

[paquito]

Tu te trompes sur la dérivée de ln(2x+1)
Pour rappel la dérivée de ln(x) est 1/x,
en conséquence celle de ln(2x+1) est égale à 2/(2x+1).

Si tu appliques les formules en faisant attention; tu obtiens: f'(x)= ln(2x+1)+(x+1/2)(2/2x+1)-e^-x=ln(2x+1)+1-e^-x, donc si tu t'appliques, tu dois arriver au résultat voulu:
Formules utilisées: (uv)'=u'v+uv', (ln(u)'=u'/u et (e^kx)'= ke^kx, toutes ces formules devant être mémorisées dans le tête et non pas dans la calcularice!

[sella31]

Si tu appliques les formules en faisant attention; tu obtiens: f'(x)= ln(2x+1)+(x+1/2)(2/2x+1)-e^-x=ln(2x+1)+1-e^-x, donc si tu t'appliques, tu dois arriver au résultat voulu:
Formules utilisées: (uv)'=u'v+uv', (ln(u)'=u'/u et (e^kx)'= ke^kx, toutes ces formules devant être mémorisées dans le tête et non pas dans la calcularice!

Oui j'ai bien appliqué les formules, je refait mon raisonnement:

u(x)= x+1/2 v(x)= ln(2x+1)+e^-x
u'(x)= 1 v'(x)= 2/2x+1 - e^-x

Je pense que la je me suis pas trompé j'ai appliqué les 3 formules que tu m'as dites.

F'(x) = (1*ln(2x+1)+e^-x) + (x+1/2)*(2/2x+1 - e^-x)

La j'ai appliqué u'v*uv' mais je n'arrive pas à la réduire, à chaque fois je tombe sur ça:

F'(x) = ln(2x+1)+ e^-x + (2/2x+1)/(2/2x+1) -(xe^-x)-1/2e^-x

Développement:
F'(x) = (1*ln(2x+1)+e^-x) + (x+1/2)*(2/2x+1 - e^-x)
F'(x) = ln(2x+1)+e^-x + 2x/2x+1 - xe^-x - 1/2*2/2x+1 - 1/2*e^-x
F'(x) = ln(2x+1)+e^-x + 2x+1/2x+1 - (xe^-x) - 1/2e^-x

Voila, je suis bloquée la

[youkef-sne]

On a F(x) = (x+0,5)(ln(2x+1) + e^-x.
Posons u(x)=x+0,5 -> u'(x)=1
Posons v(x)=ln(2x+1) -> v'(x)= 2/(2x+1)
La derivée de e^-x est la fonction -e^-x

Le dérivé d'un produit de deux fonction u(x) et v(x) vaut:
u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
D'ou F'(x) = (1)*(ln(2x+1)) + (x+0,5)*(2/(2x+1)) -e^-x
D'ou F'(x)= ln(2x+1) + 2(x+0,5)/(2x+1) - e^-x
D'ou F'(x)=ln(2x+1) + ((2x+1)/(2x+1)) - e^-x
Soit F'(x)=ln(2x+1) -(e^-x) + 1 = f(x)

[sella31]

On a F(x) = (x+0,5)(ln(2x+1) + e^-x.
Posons u(x)=x+0,5 -> u'(x)=1
Posons v(x)=ln(2x+1) -> v'(x)= 2/(2x+1)
La derivée de e^-x est la fonction -e^-x

Le dérivé d'un produit de deux fonction u(x) et v(x) vaut:
u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
D'ou F'(x) = (1)*(ln(2x+1)) + (x+0,5)*(2/(2x+1)) -e^-x
D'ou F'(x)= ln(2x+1) + 2(x+0,5)/(2x+1) - e^-x
D'ou F'(x)=ln(2x+1) + ((2x+1)/(2x+1)) - e^-x
Soit F'(x)=ln(2x+1) -(e^-x) + 1 = f(x)

Ah oui! moi je mettais le e^-x avec le ln(2x+1)
Merci beaucoup pour ton aide ça faisait un moment que je me prenais la tête :we:

[paquito]

C'est dans la dérivée du produit que ça ne vas pas; reprenons:
il faut dériver: (x+1/2)(ln(2x)+1);
soyons méthodique et posons:u(x)=x+1/2 et v(x)=ln(2x+1)
u'(x) =1(évident) et v'(x)=2/(2x+1) (application stricte de (ln(u))'=u'/u),
maintenant on applique sans se poser de question: (uv)' =u'v+uv', d'où,
((x+1/2)(ln(2x+1)=(1)ln(2x+1)+(x+1/2)(2/(2x+1)==ln(2x+1)+1 (après simplification).
Moralité, il faut connaître ses formules de dérivations, sinon, si on voit un produit, on auras pas en tête la formule qui convient; il n'y a pas trop de formules dans le programme; donc les apprendre et les manipuler dans le cadre d'exos.