Primitive d'une fonction

[Lolila]

Bonjour


J'ai la fonction suivante :
f(x) = (-3-2x)/(e^x)

Sa primitive est :
F(x) = (2x+5)/(e^x)


J'aimerais savoir comment on trouve cette primitive à partir de f(x) : j'ai essayé plusieurs façons mais sans résultat.

Pouvez-vous, s'il vous plait, m'expliquer et me détailler les différentes étapes.

Merci d'avance

[Nightmare]

Bonjour,

Une fonction n'admet pas qu'une primitive, donc éviter d'écrire "sa primitive" :lol3:

Sinon, dans ce cas il n'y a pas de formule miracle, il faut juste voir que c'est une exponentielle-polynôme, c'est à dire de la forme exp(x)P(x) (ou ici, exp(-x)P(x), ça revient au même) avec P un polynôme, et dans ce cas, on sait que les primitives seront elles même de la forme exp(x)Q(x) avec Q(x) un polynôme à déterminer, par identification par exemple.

[Black Jack]

f(x) = (-3-2x)/(e^x)
f(x) = (-3-2x).(e^-x)

IPP en posant :
e^-x = v' --> v = -e^-x
et
-3-2x = u --> u' = -2

...

:zen:

[Lolila]

Merci Black Jack.

Effectivement je retombe bien sur le résultat....


J'ai cependant une autre question

Si je veux dériver maintenant :
f(x) = (-3-2x)*(e^-x)

comment fais-tu ?
car moi pour dériver ce genre de fonction, j'utilise :
(u*v)'=u'v+uv'

et toi tu as utilisé cette règle pour calculer la primitive.....


Peux-tu m'expliquer

Merci

[Billball]

normal c'est pour intégrer par parties... c'est bien ça qui faut utiliser !

[oneil238]

Bonsoir

Pour calculer la dérivée, j'utiliserais la règle que toi aussi tu as utilisé, le fameux u'v+uv'.
Black Jack (il me semble, a corriger si ce n'est pas le cas) n'a pas utilisé cette règle, il a simplement transformer la manière d'écrire la fonction afin de se faciliter l'intégration par partie, ce qui est une très bonne idée.

[Lolila]

quand tu dis "intégrer par parties" c'est trouver la primitive de f(x) ? ce n'est pas trouver la dérivée ?

[oneil238]

L'intégration par partie est utiliser majoritairement pour trouver la primitive F(x). Elle peut être utilisé pour trouver une dérivée mais cela relève d'un niveau post-bac.

Pour trouver la dérivé, j'utilise le fameux u'v+uv'

[Lolila]

ok et donc pour la primitive il existe une régle ou alors il faut modifier la fonction de départ ?
car dans l'exemple de black jack j'ai l'impression qu'il a fait la dérivée?

[Billball]

non non, IPP c'est niveau term!
c'est simple en faite...

tu sais que la dérivé de uv vaut :

(uv)' = u'v + u'v

si tu intégres cela tu as :

uv = int (u'v) + int (uv')

si (uv)' = f(x) alors uv = F(x)

[oneil238]

Pour la primitive, à ma connaisance, de deux chose l'une: soit tu connais la primitive par coeur ( souvent cela marche en debut de seconde, mais aprés sa arrivera rarement), soit tu utilise l'intégration par partie qui te permet de retrouver l'intégrale d'une opération de fonction.
Pour utiliser l'intégration par partie (qui ne saut pas tous de suite au yeux) il peut être utile de modifier ta fonction afin que cela soit plus facile.

Black jack a utiliser cette méthode:
-En sachant que la formule de l'intégration par partie est :

-ce que tu cherche a intégrer c'est : (-3-2x)*(e^-x)
Tu va donc poser:
v'=e^-x et donc v=-e^-x
et
-3-2x = u et donc u' = -2

Ensuite tu remplace dans ta formule pour trouver ton résultat.

[Lolila]

alors là je suis complétement perdu.

Peut-on essayer sur un autre exemple ?
par exemple la fonction :
f(x)=(6+4x)/(e^x)

Merci

[oneil238]

a dériver ou à intégrer??

[Lolila]

Mon gros souci ce sont les primitives.....

(en temps normal les dérivées j'y arrive !!!)


Donc : primitive

[oneil238]

Alors vu que je ne connais pas par coeur cette primitive, je vais utiliser l'IPP( intégration par partie.

Le truc, c'est que la fonction se présente pas sous la forme u*v.On va donc la transformer, pour obtenir cette forme.
f(x)=(6+4x)/(e^x)
f(x) = (6+4x)* (e^-x)
Avec u=6+4x et v'=(e^-x)
donc u'= 4 et v= -(e^-x)
Voila, on va pouvoir utiliser l'IPP.
Donc selon la formule pour intégrer, on sait que l'intégral est égale au membre de gauche de la formule soit: = (6+4x)(-e^-x)- 4(e^-x)
A savoir que le 4(e^-x) est l'intégral que tu peux calculer facilement vu que c'est une intégrale d'exponentielle.
Il ne te reste plus qu'a développer et c'est bon.
Pour vérifier tu dérive et tu retombe sur la fonction de départ, c'est ce que je vais faire pour voir si j'ai pas fait d'erreurs.( Résultat vérifié, pas d'erreur trouvées)


Voila, si tu as des question hésite pas.

ATTENTION, J'AI CORRIGE UNE DE MES ERREURS

[Finrod]

Donc selon la formule pour intégrer, on sait que la primitive est égale au membre de droite de la formule soit:

où signifie que l'on doit prendre la primitive.

[oneil238]

Voila, j'espere que tu as mieux compris comment résoudre ton problème.

[Lolila]

Alors vu que je ne connais pas par coeur cette primitive, je vais utiliser l'IPP( intégration par partie.

Le truc, c'est que la fonction se présente pas sous la forme u*v.On va donc la transformer, pour obtenir cette forme.
f(x)=(6+4x)/(e^x)
f(x) = (6+4x)* (e^-x)
Avec u=6+4x et v'=(e^-x)
donc u'= 4 et v= -(e^-x)
Voila, on va pouvoir utiliser l'IPP.
Donc selon la formule pour intégrer, on sait que l'intégral est égale au membre de gauche de la formule soit: = (6+4x)(-e^-x)- 4(e^-x)
A savoir que le 4(e^-x) est l'intégral que tu peux calculer facilement vu que c'est une intégrale d'exponentielle.
Il ne te reste plus qu'a développer et c'est bon.
Pour vérifier tu dérive et tu retombe sur la fonction de départ, c'est ce que je vais faire pour voir si j'ai pas fait d'erreurs.( Résultat vérifié, pas d'erreur trouvées)


Voila, si tu as des question hésite pas.

ATTENTION, J'AI CORRIGE UNE DE MES ERREURS

Tu as écrit :

f(x)=(6+4x)/(e^x)
f(x) = (6+4x)* (e^-x)
Avec u=6+4x et v'=(e^-x)
donc u'= 4 et v= -(e^-x)

Pour moi, j'aurais vu plutot cela comme ça :
v=(e^-x)
et v'=-(e^-x)

donc ça va changer à la fin....... ????????



Et si on fait la primitive sans l'histoire d'intégration par partie ... ça donne quoi ?

Merci

[oneil238]

Attention, ce que tu cherche à intégrer se trouve être le membre de gauche dans la formule de l'IPP.
Or dans la formule c'est bien l'intégrale de u*v', donc quand tu affecte des valeurs, c'est bien l'une qui est u( dans l'exemple:6+4x) et l'autre qui est v' (dans l'exemple (e^-x))


Et je comprend pas ta dernière question! désoler

[Finrod]

Pour moi, j'aurais vu plutot cela comme ça :
v=(e^-x)
et v'=-(e^-x)

Non si tu fais ça, tu as u'=6+4x et u=6x+2x^{2}

ça marche pas.

Et si on fait la primitive sans l'histoire d'intégration par partie ... ça donne quoi ?

C'est impossible. A moins de faire l'IPP "de tête". mais on en est pas là.