Primitive...

[mimy0323]

Bonjour!!alors voilà je viens tout juste de commencer les primitives et déjà tout se mélange entre dérivation.... :hum:
j'ai un petit probleme pour faire cet exercice

Soit la fonction f définie sur R par f(x)=1/(1+x^2)

1)Justifier l'existence et l'unicité d'une primitive F de f sur R telle que F(0)=0 (On ne demande pas de la calculer)

Pour l'existence j'ai réussi mais pas l'unicité.Je ne vois pas comment on peut justifier l'unicité qui vérifie cette condition sans la calculer??!

2)Soit la fonction g définie sur R par g(x)=F(x)+F(-x)
Justifier précisément la dérivabilité de g sur R puis prouver que g est une fonction constante sur R.Calculer cette constante et en déduire que la fonction F est une fonction impaire

Pour la dérivabilité c'est fait!(seule chose de faite) et pour prpouver qu'elle est constante j'ai calculer la dérivée mais je n'arrive pas a une fonction constante... :hum:

3)Soit la fonction h définie sur ]0;+infini[ par h(x)=F(x)+F(1/x)
Justifier précisément la dérivabilité de h sur ]0;+infini[ puis prouver que h est constante sur cet intevalle
En déduire que,pour tout x>0 F(x)=2F(1)-F(1/x)
Justifier alors que la limite de F(x) quand x tend vers +infini est égale à 2F(1)

J'ai pas réussi grand chose...Si quelqu'un pourrait m'expliquer... :mur:

[mimy0323]

Personne pour m'expliquer...je n'y arrive pas du tout

[Nightmare]

Bonsoir

Soit G une primitive de f telle que G(0)=0

Comme G et F sont des primitives de f, elles sont égales à une constante près notée C :
G(x)=F(x)+C
En particulier en 0 :
G(0)=F(0)+C
Or G(0)=F(0)=0
D'où 0=0+C donc C=0
Finalement pour tout x, G(x)=F(x), d'où l'unicité.

[Nightmare]

g(x)=F(x)+F(-x)

g'(x)=F'(x)-F'(-x)=f(x)-f(-x)
Or f est paire, donc f(x)=f(-x) d'où g'(x)=0
Finalement g est une fonction constante.

Pour tout x, F(x)+F(-x)=C
En particulier en prenant x=0 :
F(0)+F(0)=C, c'est-à-dire : C=0
D'où F(x)+F(-x)=0
soit F(-x)=-F(x) donc F est impaire.

[mimy0323]

Hummm...il fallait revenir au théorème...je comprend mieux
Pour la deuxième question

J'ai essayer de dériver la fonction g, ça me donne ça:

g(x)'=F'(x)+F'(-x)=f(x)+F'(-x) ....mais aprés je ne vois pas comment on trouve qu'elle est constante.... :marteau:

[Nightmare]

La dérivée de F(-x) n'est pas F'(-x) mais -F'(-x) (composée de fonction)

[mimy0323]

Ok mais on obtient une fonction constante?

g'(x)=F'(x)-F'(-x)=f(x)-f(-x)??

[mimy0323]

J'ai une autre question que je n'ai pa faite

4)On considère la fonction H définie sur ]-pi/2;pi/2[ par H(x)=F(tanx) Calculer la dérivée de H

En déduire une expression simple de H(x) en fonction de x puis F(1) puis la limite de F en +infini

Alors j'obtiens H'(x)=F'(tanx)=1/(cos x^2)
c'est bien ça?

Pour le reste aucune idée... :hum:

Je ne suis pa sur de mon résultat si quelqu'un pouvait me dire si c'est correct ou pas sa serait gentil...merci d'avance

H'(x)=F'(tanx)=f(tanx)=1/(cosx^2)??? je bloque dessus...

[mimy0323]

quelqu'un pourrait m'aider svp...je n'y arrive vraiment pas...je n'ai jamais autant bloquer sur un exercice...

[mimy0323]

3)Soit la fonction h définie sur ]0;+infini[ par h(x)=F(x)+F(1/x)
Justifier précisément la dérivabilité de h sur ]0;+infini[ puis prouver que h est constante sur cet intevalle
En déduire que,pour tout x>0 F(x)=2F(1)-F(1/x)
Justifier alors que la limite de F(x) quand x tend vers +infini est égale à 2F(1)

Alors voilà j'ai réussi à démontrer que la fonction est constante
Mais je n'arrive pas à en déduire que F(x)=2F(1)-F(X)
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ça serait gentil...merci

[mimy0323]

Toujours personne pour m'aider...je séche complètement

[mimy0323]

Toujours un blocage sur la question 3...qu'elqu'un pourrai prendre du tps pour m'expliquer svp....

[mimy0323]

...I need help...