Primitive de 1/u

[hdci]

Bonjour,

Non il n'y a pas de formule directe pour la primitive de 1/u.

ln(u) c'est une primitive de u'/u.

[Pisigma]

Bonjour,

il faut transformer ton dénominateur de façon à faire apparaître une expression de la forme

avec k = constante ; tu peux facilement trouver une primitive de la fraction

[hdci]

Le truc c'est que je doute qu'au lycée (en France du moins mais peut-être que lazare n'est pas lycéen en France ?) on connaisse la dérivée de l'arcsinus...

[hdci]

Il y a quelques (dizaines d')années, c'était effectivement du niveau de la terminale C ; je ne sais plus si c'était au programme, mais je me souviens qu'en 82 mon prof de math m'avait demandé en exercice "au tableau à la volée" de calculer la dérivée de l'arccosinus).

Toujours est-il qu'avec une mise en forme canonique du polynôme on arrive à faire apparaître du et cela s'intègre ensuite aisément.

[hdci]

On a


(On retrouve cela en considérant que t²-2t/3 est le début d'une identité remarquable, et on complète)

Pour avoir la forme 1-t², on va mettre -10/9 en facteur et cela donne



En posant alors on a maintenant



Ce qui fait que



Soit après simplification (et en espérant que je n'aie pas fait d'erreur de calcul)



Donc, sauf erreur

[Pisigma]

Bonsoir hdci,

je pense qu'il y a une petite coquille au début

[hdci]

Ah oui je me disais cette racine de 10 était bizarre...

[hdci]

Ce n'est pas "le même" k. Tu peux remplacer k par C par exemple dans la première pour avoir



puisque k ou C est une constante elle ne change pas le mécanisme puisqu'on peut la conserver en facteur dans la recherche de la primitive.

Par ailleurs, j'ai un peu complexifié dans la démarche (avec les dx, dt etc.), ça faisait longtemps que je n'avais pas fait ce genre d'exo. En fait, il suffit de se souvenir que si F(t) est une primitive de f(t), alors est une primitive de

Comme une primitive de est

on a donc directement le fait qu'une primitive de est

Donc une primitive de est

Et une primitive de est

D'où le fait de transformer en

[hdci]

Comme l'a indiqué Pisigma

Bonsoir hdci,

je pense qu'il y a une petite coquille au début

J'ai fait une erreur en factorisant par -3 il devrait y avoir -1/3 et non -1 dans la parenthèse. donc au final on trouve

Pourquoi ici tu utilise le polynôme sans la racine ?

Je ne comprends pas la question : est-ce "pourquoi n'ai-je pas factorisé" ? Si c'est cela la question, la raison est que l'on veut avoir 1-x² dans la racine et pas (x-a)(x-b) qui ne donnerait rien. Or la forme canonique d'un polynôme du second degré est et justement cette forme canonique peut aboutir à la forme 1-x² après avoir factorisé par bêta (s'il est strictement négatif) et poser x=....

La technique est donc ici d'utiliser la forme canonique pour faire apparaître ce 1-x²

[Carpate]

En re-détaillant les calculs :

On met le radicande R (trinôme du second degré) sous forme canonique :


Changement de variable

[Pisigma]

Of course!