Primitive

[Tulipe06]

Bonjour,

Comment calculer la primitive de -1/(x²+4)?
Je voulais utiliser que la primitive de -U'/U² est 1/U +k mais je ne sais pas comment prendre la fonction U.
Merci pour votre réponse.

[annick]

Bonjour,
es-tu sûr de ton énoncé ? Si oui, avais-tu d'autres questions précédentes dans ton exercice ?

[Lostounet]

Bonjour,
Je rejoins Annick sur ce point, car une primitive de cette fonction s'exprime à l'aide de la fonction Arctan qui n'est pas très vue au lycée.

[Tulipe06]

Bonjour,
es-tu sûr de ton énoncé ? Si oui, avais-tu d'autres questions précédentes dans ton exercice ?

Voici l'énoncé de l'exercice en entier:

1) Expliquer pourquoi la fonction f: x --> -1/(x²+4) possède des primitives sur IR.
2) On désigne par F la primitive de f sur IR, nulle en 0.
a) étudier le sens de variation puis le signe de F.
b) donner une équation de la tangente à l'origine à la courbe représentative de F.

[annick]

C'est bien ce que je pensais, tu n'as pas à calculer F(x). On te demande juste son sens de variations, sachant qu'elle est nulle en 0.
Si F(x) est la primitive de f(x), cela veut dire que f(x) est la dérivée de F(x);
Donc, si tu étudies le signe de f(x), ce qui est vraiment facile, tu auras le sens de variations de F(x).

[Tulipe06]

Bonjour,
Je rejoins Annick sur ce point, car une primitive de cette fonction s'exprime à l'aide de la fonction Arctan qui n'est pas très vue au lycée.

Voici l'énoncé de l'exercice en entier:

1) Expliquer pourquoi la fonction f: x --> -1/(x²+4) possède des primitives sur IR.
2) On désigne par F la primitive de f sur IR, nulle en 0.
a) étudier le sens de variation puis le signe de F.
b) donner une équation de la tangente à l'origine à la courbe représentative de F.

En fait pour le 2-a) pour le sens de variation de F pas besoin de trouver F puisque F'(x) = f(x) et que f(x)<0 sur IR donc F est strictement décroissante sur IR.
Mais comment trouver le signe de F?
Peut-on dire que si f(x)<0 alors F(x)<0 aussi?

[Tulipe06]

C'est bien ce que je pensais, tu n'as pas à calculer F(x). On te demande juste son sens de variations, sachant qu'elle est nulle en 0.
Si F(x) est la primitive de f(x), cela veut dire que f(x) est la dérivée de F(x);
Donc, si tu étudies le signe de f(x), ce qui est vraiment facile, tu auras le sens de variations de F(x).

C'est ce que je viens de comprendre mais comment trouver le signe de F?
Peut-on dire que si f(x)<0 alors F(x)<0 aussi?
Je sais que pour les intégrales cela est possible:
si f(x)<0 alors intégrale de a à b de f(x)dx est aussi <0

[Tulipe06]

[quote="Tulipe06"]C'est ce que je viens de comprendre mais comment trouver le signe de F?
Peut-on dire que si f(x)0 sur ]-00;0[ et F<0 sur ]0;+00[
Est-ce bien ça?

[annick]

Tu fais un tableau comme ceux que l'on fait toujours pour les études de fonctions.

F'(x)=f(x)=-1/(x²+4) donc toujours négative car x²+4 toujours positive.

Ta fonction F(x) est donc toujours décroissante.

De plus, F(0)=0 donc tu peux connaître le signe de F(x) : positif avant x=0, négatif après.

[Tulipe06]

Tu fais un tableau comme ceux que l'on fait toujours pour les études de fonctions.

F'(x)=f(x)=-1/(x²+4) donc toujours négative car x²+4 toujours positive.

Ta fonction F(x) est donc toujours décroissante.

De plus, F(0)=0 donc tu peux connaître le signe de F(x) : positif avant x=0, négatif après.

Ok merci. C'était tout bête en fait.