[TS] Primitive d'un quotient

[Ixe]

Bonjour,

J'ai entamé la semaine dernière mes révisions pour le BAC de fin d'année, en math.
J'ai des épreuves blanc la semaine prochaine, et j'essaie d'être prêt au maximum dans les matières à haut coef.

J'ai, dans mon livre d'exercice, une intégration pour laquelle je ne trouve pas la méthode de résolution.

S(de 0 à 1) (e^1-x)*1/(1+e^-x) dx.

(La puissance de e est bien 1-x dans le premier terme )

Je ne sais pas trop comment aborder cette primitive. Toutefois, je sais que la valeur de cette intégrale est e*ln[(2e)/(e+1)] .

Je profite aussi du sujet pour poser une autre question.
Nous étudions actuellement en tronc commun, les probabilités. Nous en sommes arrivé aux combinatoires. Je ne comprends pas les techniques de dénombrements d'issues, ainsi qu'une notation : C(indice x, et exposant y). Il me semble que c'est une notation française, et que celle anglaise ressemblerai plutôt à ( x(indice) y(exposant) ).

Je vous remercie d'avance pour m'avoir lu. En espérant recevoir quelques éclaircissements.

[annick]

Bonsoir,
il faut que tu penses que e^(1-x) peut s'écrire (e^1)(e^(-x))=e(e^(-x))

[kassgloth]

Pour la primitive tu dois remarquer que e^(1-x) = e * e^(-x)
Une fois que tu as remarqué ça, tu devrais t'en sortir.

Regardes du côté de la dérivée de ln(1+e^(-x)). Après c'est du gâteau

[Ixe]

Merci pour ces réponses rapides.

J'ai en fait déjà trouvé cette relation. Mais où m'avance t elle ? Je ne comprend pas vraiment.

EDIT :

La dérivée de ln(1+e^-x), c'est (-e^-x)/(1+e^-x)

[kassgloth]

La dérivée de ln(1+e^-x), c'est (-e^-x)/(1+e^-x)

Si tu sais ça le problème est fini
La primitive de ton intégrale c'est : [-e*ln(1+e^(-x))] entre 0 et 1 ce qui donne bien après développement :

e(ln(1+e^0) - ln (1+e^(-1)))
= e(ln(2) - ln(1+e^(-1)))
= e*ln(2/(1+e^(-1))
= e*ln((2e)/(e+1)) en multipliant dans le ln par e au numérateur et au dénominateur.

[annick]

D'après ce que je vois, tu conclues que e*ln[(2e)/(e+1)] est bien la primitive que tu cherches, puisque si tu dérives, tu retombes bien sur (e^1-x)*1/(1+e^-x).
Je pense qu'il aurait été plus élégant de faire réellement l'intégration.
En effet, suite à la première remarque, cela devient assez facile :

(e^1-x)*1/(1+e^-x)=e(e^(-x))/(1+e^(-x))

Pour trouver la primitive de e^(-x)/(1+e^(-x)), il suffit de poser u=1+e^(-x), soit u'=-e^(-x), ce qui revient à chercher la primitive de -u'/u qui est -Ln u

L'intégrale donnera donc -eLn(1+e^(-x)) à prendre entre 0 et 1, soit

-e[Ln(1+e^(-1)-Ln2]=e[Ln2-Ln(1+(1/e)]=eLn(2/(1+1/e)=eLn(2e/(1+e))

[Ixe]

Merci à vous, j'ai compris.

J'ai une autre question,

comment calcule t on une forme indéterminé ?

Imaginons lim(en 0) X = +infini et lim(en 0) Y = 0

Comment puis-je résoudre lim(en 0) X*Y ?

[Trident]

Merci à vous, j'ai compris.

J'ai une autre question,

comment calcule t on une forme indéterminé ?

Imaginons lim(en 0) X = +infini et lim(en 0) Y = 0

Comment puis-je résoudre lim(en 0) X*Y ?

Il n'y a pas de méthode générale pour lever ce type de forme indéterminée, cela dépend des fonctions mis en jeu. Donnes un exemple précis pour qu'on puisse te guider.

[Ixe]

Par exemple : Lim(+infini) (e^x)*(ln(x)/x)

lim e^x = +infini
lim ln(x)/x= 0

[Euler07]

Par exemple : Lim(+infini) (e^x)*(ln(x)/x)

lim e^x = +infini
lim ln(x)/x= 0

On peut aussi dire que cela revient à e^x/x * lnx et les deux facteurs tendent tout les deux vers l'infini

:livre:

[Ixe]

Comment a tu fais pour trouver que (e^x)*(ln(x)/x) = (e^x/x) * ln(x) ?

[Euler07]

Comment a tu fais pour trouver que (e^x)*(ln(x)/x) = (e^x/x) * ln(x) ?

1 X 5/9 = 1/9 X 5 par exemple non ?

:livre:

[Ixe]

Ah oui, tiens !

Il est l'heure d'aller dormir. Bonne nuit.