Primitive de fonction trigonométrique

[Ilboudo]

Déterminer les primitives de f

1-) f(x)= 1/sin(4x)

2-) f(x) = cosx / sin(2x)

Je n'arrive pas à déterminer la primitive de f. J'ai essayé d'écrire d'abord f(x) sous une autre forme en utilisant les formules trigonométriques que je connais, mais ça ne fait que compliqué la fonction..
Don s'il vous plais s'il y a quelqu'un qui a une idée, qu'il m'aide. Merci d'avance!

[Manny06]

une primitive de 1/sinx est Lntan(x/2) tu peux t'en inspirer
pour le 2
sin(2x)=2sinx cosx

[Black Jack]

Aide pour le premier pour montrer le genre de manipulations possibles.

f(x) = 1/sin(4x) = 1/(2.sin(2x).cos(2x))= cos(2x)/(2.sin(2x).cos²(2x))

Poser sin(2x) = t

2.cos(2x) dx = dt

cos²(2x) = 1 - sin²(2x) = 1 - t²


dx/sin(4x) = cos(2x)/(2.sin(2x).cos²(2x)) dx

= (1/2)/(2t.(1-t²)) dt = (1/4) dt/(t.(1-t)(1+t))
***

1/(t.(1-t)(1+t)) = A/t + B/(1-t) + C/(1+t)

A(1-t²) + Bt(1+t) + Ct(1-t) = 1
t²(-A+B-C) + t(B+C) + A = 1

-A+B-C = 0
B+C=0
A = 1

A = 1, B = 1/2 et C = -1/2

1/(t.(1-t)(1+t)) = 1/t + (1/2)/(1-t) - (1/2)/(1+t)
***
dx/sin(4x) = (1/4) * [1/t + (1/2)/(1-t) - (1/2)/(1+t)] dt

S dx/sin(4x) = 1/4 * [ln|t| - (1/2).ln|1-t| - 1/2.ln|1+t|]

S dx/sin(4x) = 1/4 * [ln|t/V|1-t²||

S dx/sin(4x) = 1/4 * [ln|sin(2x)/V|1-sin²(2x)|| = 1/4 * [ln|sin(2x)/cos(2x)||

S dx/sin(4x) = (1/4).ln|tan(2x)|

F(x) = (1/4).ln|tan(2x)| est UNE primitive de f(x) = 1/sin(4x)

Essaie l'autre...

[Carpate]

Il y a quand même plus immédiat :

On sait que avec
Appliqué à sin(4x), en posant ,

[Black Jack]

Il y a quand même plus immédiat :

On sait que avec
Appliqué à sin(4x), en posant ,

Certes c'est plus rapide car on se sert de prémaché qu'on ne redémontre pas, comme "on sait que ... "
Remarque que cela ne m'inquiète pas, mais il est bon quand même de voir pourquoi certaines voies ont l'air d'être plus rapides.

Par contre, il a un soucis dans ta réponse finale :

Par exemple pour x = -0,3 (rad)

sin(4x) existe et n'est pas nul ... mais ln(tg(2x)) n'existe pas.

[Carpate]

Certes c'est plus rapide car on se sert de prémaché qu'on ne redémontre pas, comme "on sait que ... "
Remarque que cela ne m'inquiète pas, mais il est bon quand même de voir pourquoi certaines voies ont l'air d'être plus rapides.

Par contre, il a un soucis dans ta réponse finale :

Par exemple pour x = -0,3 (rad)

sin(4x) existe et n'est pas nul ... mais ln(tg(2x)) n'existe pas.

Dans la seconde moitié du siècle précédent, ces formules (expression de sinx, cosx, tgx en fonction de l'arc moitié) étaient connues des élèves qui étaient malgré tout capables de les retrouver rapidement par des calculs que l'on trouverait actuellement très longs voire inextricables (!!!) :
en divisant haut et bas par

Effectivement, il vaudrait mieux écrire :

[Pisigma]

Bonjour,

un peu tard! mais en reprenant l'idée de Black Jack,

[Black Jack]

Salut,

"Dans la seconde moitié du siècle précédent, ces formules (expression de sinx, cosx, tgx en fonction de l'arc moitié) étaient connues des élèves qui étaient malgré tout capables de les retrouver rapidement par des calculs que l'on trouverait actuellement très longs voire inextricables (!!!) "

Oui, j'y étais ... mais les temps changent.
On ne connaît plus (même souvent en supérieur) les priorités des opérations mathématiques et d'autres "broutilles" élémentaires du même acabit ... alors les expressions de sinx, cosx, tgx en fonction de l'arc moitié, pratiquement aucune chance.

[Black Jack]

Juste pour être taquin.

Le "+C" ajouté à l'expression d'une primitive, c'est en général pour avoir LES primitives (donc toutes les primitives), mais il faut user de ce "+C" avec précaution.

Dans le cas de cet exercice, le fait d'ajouter un +C ne permet pas d'avoir toutes les primitives, car le domaine d'existence de 1/sin(4x) n'est pas connexe...
Mais cela c'est sûrement hors connaissance pour un exercice posé dans la rubrique Lycée. (mais alors, il faut que l'énoncé demande soit UNE primitive, soit donne le domaine de x à considérer et que celui-ci soit connexe)

Si ici, on veut vraiment toutes les primitives, il faut ajouter une remarque (en texte ou de manière mathématique) pour indiquer que le +C (qui est une constante réelle quelconque, mais constante quand même) peut être différent pour chaque "partie" du domaine d'existence.

Quelque chose comme ceci :

F(x) = 1/4 . ln|tan(x)| + Ck pour x compris dans ]k.Pi ; k.(Pi+1)[ avec k dans Z

Probablement peut-on mieux formuler que ce que j'ai écrit.

[Pisigma]

peut-être dire qu'on calcule pour

d'où le domaine

[Black Jack]

Salut,

Certes, mais cela ne modifie pas la remarque à propos de la constante.

Ecrire : F(x) = (1/4).ln|tan(2x)| + C pour x dans R - {k.Pi/4} ne donne pas toutes les primitives.

[Pisigma]

je pense qu'il faudrait en toute rigueur écrire:..... + C(x) avec C= constante sur chaque intervalle de sur lequel sin(4x) ne s'annule pas

[Black Jack]

Oui, c'est, je pense, ce que j'ai fait en écrivant :

F(x) = 1/4 . ln|tan(x)| + Ck pour x compris dans ]k.Pi ; k.(Pi+1)[ avec k dans Z

[Pisigma]

n'est-ce pas plutôt

[Black Jack]

n'est-ce pas plutôt

Bien évidemment.
Et pourtant ce n'était pas l'heure de l'apéro.