Pour les super doué en fonction

[vilcoyote]

Bonjour,

Alors voila j'ai un problème !
j'ai un exercice avec un calcul relou :hum:
Voila :
F(x)= -x^3+12x+7
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique alpha (Oui dans un tableau de varariation)

D'habitude j'ai pas de mal mais le -x^3 me gêne !

Merci :D

[Peacekeeper]

Bonjour,

Alors voila j'ai un problème !
j'ai un exercice avec un calcul relou :hum:
Voila :
F(x)= -x^3+12x+7
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique alpha (Oui dans un tableau de varariation)

D'habitude j'ai pas de mal mais le -x^3 me gêne !

Merci

Bonjour,

ça sent le théorème des valeurs intermédiaires ton problème.

[Jota Be]

Bonjour,

Alors voila j'ai un problème !
j'ai un exercice avec un calcul relou :hum:
Voila :
F(x)= -x^3+12x+7
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique alpha (Oui dans un tableau de varariation)

D'habitude j'ai pas de mal mais le -x^3 me gêne !

Merci

Bonjour,
heureusement que les "super doués" sont là pour t'aider à résoudre ce problème "chelou".
Ce que tu devrais commencer à faire, c'est dire quel est l'ensemble de définition de cette fonction.
Trouve quelques limites.
Après la mise en bouche, on s'intéresse aux variations. Pour cela, le classique calcul de dérivée intervient. Si la dérivée ne s'annule pas, cela signifie que cette fonction n'admet pas d'extremum sur un intervalle donné. Le fait de regarder le tableau suffira pour appliquer le théorème de la bijection et tu conclueras. Si on te demande de déterminer un encadrement de alpha, il suffira de procéder par dichotomie.

[SaintAmand]

Si la dérivée ne s'annule pas, cela signifie que cette fonction n'admet pas d'extremum sur un intervalle donné.

hmmm... est dérivable, sa dérivée ne s'annule pas et admet un extremum sur [0,1].

[vilcoyote]

Bonjour,
heureusement que les "super doués" sont là pour t'aider à résoudre ce problème "chelou".
Ce que tu devrais commencer à faire, c'est dire quel est l'ensemble de définition de cette fonction.
Trouve quelques limites.
Après la mise en bouche, on s'intéresse aux variations. Pour cela, le classique calcul de dérivée intervient. Si la dérivée ne s'annule pas, cela signifie que cette fonction n'admet pas d'extremum sur un intervalle donné. Le fait de regarder le tableau suffira pour appliquer le théorème de la bijection et tu conclueras. Si on te demande de déterminer un encadrement de alpha, il suffira de procéder par dichotomie.

L'intervalle est de [-2;2]
Je suis en 1ère STG et je n'ai pas encore vu tout ça :S !
Ps: Relou et non chelou. Je comprend les maths mais ce calcule est embêtant >_>

[Jota Be]

hmmm... est dérivable, sa dérivée ne s'annule pas et admet un extremum sur [0,1].

Sans doute ai-je confondu avec les points critiques ? Auquel cas, et sinon, j'aimerais en savoir plus et une définition rigoureuse serait la bienvenue. Merci

[vilcoyote]

J'ai beau regarder , je comprend toujours pas.
Comment déterminer alpha dans cette intervalle ? ([-2;2])

Même mes cours sont troubles n'explique pas

[SaintAmand]

J'ai beau regarder , je comprend toujours pas.
Comment déterminer alpha dans cette intervalle ? ([-2;2])

On ne te demande pas de calculer alpha, mais de montrer son existence et unicité. C'est très différent.
As-tu fait un tableau de variation de f sur [-2,2] ?

[SaintAmand]

une définition rigoureuse serait la bienvenue. Merci

Une définition de quoi ?

[vilcoyote]

On ne te demande pas de calculer alpha, mais de montrer son existence et unicité. C'est très différent.
As-tu fait un tableau de variation de f sur [-2,2] ?

Ah oui , on doit montrer que f(x) admet une solution.
J'ai un tableau de variation de f sur [-3;3].
Je devrais carrément prendre l'exo en photo pour le poster :/ Psque là , je m'embrouille.

[Jota Be]

Une définition de quoi ?

d'extremum.
Si l'on parle d'extremum sur un intervalle, est-ce le fait qu'une fonction atteint une valeur maximum ou minimum ?
Ah, ma faute a sans doute été de considérer qu'un extremum de f sur un intervalle se situe à l'endroit où f' s'annule, n'est-ce pas ? Donc comme f est ici continue et monotone (strictement) sur tout intervalle de R, elle y admet un minimum et un extremum, est-ce bien ça ? Sinon je n'ai rien compris

[SaintAmand]

d'extremum.
Si l'on parle d'extremum sur un intervalle, est-ce le fait qu'une fonction atteint une valeur maximum ou minimum ?

Soit une fonction. On dit que f présente en :
- un maximum si pour tout
- un minimum si pour tout
- un extremum si f admet un maximum ou un minimum en .

Ex: admet un maximum en 1, mais n'a pas de minimum.

Ah, ma faute a sans doute été de considérer qu'un extremum de f sur un intervalle se situe à l'endroit où f' s'annule, n'est-ce pas ?

C'est effectivement une erreur.
- a un minimum en 0 et pourtant sa dérivée ne s'annule pas en 0.
- est dérivable, sa dérivée s'annule en 0 et pourtant elle n'admet pas d'extremum en 0.
- admet un minimum en 0 mais n'est pas dérivable en 0.

En revanche on a le théorème suivant que tu devrais connaitre (1ère S):

Soit une fonction. Si f présente un extremum en et si existe alors .

Appliquons ce théorème à la fonction . La fonction est dérivable donc d'après le théorème précédent, il faut rechercher les points où la dérivée s'annule.
[CENTER] .[/CENTER]
s'annule en -2 et 2 et en chacun de ses points change de signe, donc admet des extrema en -2 et 2:
- au voisinage de -2, est négative à gauche et positive à droite, donc admet un minimum -2.
- au voisinage de 2, est positive à gauche et négative à droite, donc admet un maximum en 2.

Attention un point critique ne correspond pas nécessairement à un extremum. Un contre-exemple est la fonction cubique dont la dérivée s'annule en 0.

Donc comme f est ici continue et monotone (strictement) sur tout intervalle de R, elle y admet un minimum et un extremum, est-ce bien ça ?

1. f n'est pas monotone sur R.
2. Une fonction continue et monotone sur tout intervalle de R n'admet pas nécessairement d'extremum. Contre-exemple: la fonction cubique.

Pour en revenir au problème de notre ami;
- f est continue sur l'intervalle [-2,2]
- f(2) et f(-2) sont de signes opposés
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet au moins une solution sur [-2,2]. Comme f est strictement monotone (f'>0 sur ]-2,2[) sur [-2,2], l'équation f(x)=0 a une unique solution.

Sinon je n'ai rien compris

Hmmm, pas nécessairement. Mais si tu es en math sup, c'est quand même un peu gênant. ^_^

[Jota Be]

Soit une fonction. On dit que f présente en :
- un maximum si pour tout
- un minimum si pour tout
- un extremum si f admet un maximum ou un minimum en .

Ex: admet un maximum en 1, mais n'a pas de minimum.


C'est effectivement une erreur.
- a un minimum en 0 et pourtant sa dérivée ne s'annule pas en 0.
- est dérivable, sa dérivée s'annule en 0 et pourtant elle n'admet pas d'extremum en 0.
- admet un minimum en 0 mais n'est pas dérivable en 0.

En revanche on a le théorème suivant que tu devrais connaitre (1ère S):


Appliquons ce théorème à la fonction . La fonction est dérivable donc d'après le théorème précédent, il faut rechercher les points où la dérivée s'annule.
[CENTER] .[/CENTER]
s'annule en -2 et 2 et en chacun de ses points change de signe, donc admet des extrema en -2 et 2:
- au voisinage de -2, est négative à gauche et positive à droite, donc admet un minimum -2.
- au voisinage de 2, est positive à gauche et négative à droite, donc admet un maximum en 2.

Attention un point critique ne correspond pas nécessairement à un extremum. Un contre-exemple est la fonction cubique dont la dérivée s'annule en 0.


1. f n'est pas monotone sur R.
2. Une fonction continue et monotone sur tout intervalle de R n'admet pas nécessairement d'extremum. Contre-exemple: la fonction cubique.

Pour en revenir au problème de notre ami;
- f est continue sur l'intervalle [-2,2]
- f(2) et f(-2) sont de signes opposés
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet au moins une solution sur [-2,2]. Comme f est strictement monotone (f'>0 sur ]-2,2[) sur [-2,2], l'équation f(x)=0 a une unique solution.


Hmmm, pas nécessairement. Mais si tu es en math sup, c'est quand même un peu gênant. ^_^

Merci beaucoup pour cette explication détaillée.
Quant à x²+1, la dérivée s'annule bien en x=0
Sinon, je vois ce que tu veux dire : Si une fonction admet un extremum local en un point pour un certain intervalle I, alors sa dérivée s'annule en ce point, mais ce n'est pas vrai de dire le contraire.
C'est très important d'avoir de la rigueur et j'en manque quelque fois.
Après, heureusement que je ne suis pas en maths sup =)
Merci encore pour ce petit cours de rappel !

[SaintAmand]

Sinon, je vois ce que tu veux dire : Si une fonction admet un extremum local en un point pour un certain intervalle I, alors sa dérivée s'annule en ce point

Oui si la fonction est dérivable en ce point, et que ce point est à l'intérieur de I (l'intérieur de l'intervalle I est I privé de ses bornes; l'intérieur de [a,b] est ]a,b[).