Polynome

[vioup]

Soit le polynome f(x) = (x-1)^2n+1 + x^2n+1 - 2x +1 ( avec n element de N )
demontrer que pour tout n de N* il existe un polynome g(x) tel que f(x) = x(x-1)(2x-1)g(x)

j'ai essayé de factorisé , j'ai essayé de reduir les puissance , je ne comprend pas comment fair disparaitre ces puissances pour obtenir l'ecriture final
je bloque completement
merci

[emdro]

Tu connais un théorème qui dit que si x0 est une racine de P (c'est à dire une solution de P(x)=0), alors on peut factoriser P par (x-x0)?

[B_J]

Salut ;
il suffit de montrer que O,1/2 et 1 sont racines de ton polynome

[vioup]

je sais que je suis exigeant mais j'ai été hospitalisé les 4 derniers mois de mon année de 1erS et je ne comprend plus grand chose ,
peut tu me montrer comment demontrer que 0 , 1/2 et 1 son les racines du polynome? montre justee pour 0 et jme debrouillerai
et en quoi le fait que c 3 chiffres soient racine du polynome montre quil existe un polynome g(x) tel que f(x) = x(x-1)(2x-1)g(x)?
desolé de vous embettez avec cela
merci beaucoup

[B_J]

pour montrer que 0 est racine de f , il faut montrer que f(0)=0
( pour calculer f(0) , remplace x par 0 dans l'expression de f )
apres , comme l'a dit Emdro , si a est racine d'un polynome P alors P est factorisable par x-a autrement dit , il existe un polynome Q tel que P(X)=(X-a)Q(X)

[emdro]

Tu ne nous embête pas du tout. Désolé si mes mots t'ont laissé penser cela.
Calcule P(0). Si tu trouves 0, c'est que tu peux mettre (x-0) donc x en facteur dans P(x). C'est à dire que P(x)=x*Q(x), où Q est un polynôme.
Calcule P(1). Tu vas trouver 0
Donc 1*Q(1)=0, d'où 1 est une racine de Q. On applique le même théorème, et on écrit Q(x)=(x-1)*R(x).
Je te laisse faire la dernière étape, un peu plus difficile. :happy2:

[vioup]

je crois avoir compris !

f(0) = (0-1)^2n+1 + 1
f(0) = -1^2n+1 + 1

f(1) = (1-1)^2n+1 + 1^2n+1 -2+1
f(1)= 1^2n+1-1

f(1/2) = (0.5-1)^2n+1 +1/2^2n+1 - 1 +1
f(1/2) = -0.5^2n+1 + 1/2^2n+1

les resultats ne sont pas egaux ou jme suis trompé peut etre

[B_J]

2n+1 est impair donc (-1)^(2n+1)=-1 pour tout n donc ...

[vioup]

certes mais f(0) n'est pas egal a 0 ... c'est la ou je bloque ...??

[B_J]

f(0)=(-1)^(2n+1) +1 = -1+1=0

[emdro]

f(0) = (-1)^(2n+1) + 0+0+... +1 =-1+1=0, non?

Edit: BJ, je te laisse faire, c'est ridicule de donner toutes les réponses en double! :happy2:

[vioup]

ok alor je recapitule !
Pour demontrer que pour tout n de N il existe un polynome g(x) tel que f(x)=x(x-1)(2x-1)g(x) montrons que f(0)=f(1)= f(1/2)
f(0)=0
f(1)=0
f(1/2)=0
ainsi on peut factorisé par (x-a)
donc f(x)=x(x-1)(2x-1)(x-a)

Quels est la valeur de a pour finir ma demonstration ?
merci de votre aide

[vioup]

juste une derniere reponse svp !!

[B_J]

Pour demontrer que pour tout n de N il existe un polynome g(x) tel que f(x)=x(x-1)(2x-1)g(x) montrons que f(0)=f(1)= f(1/2)

il faut montrer que f(0)=f(1)= f(1/2) = 0

ainsi on peut factorisé par (x-a)
donc f(x)=x(x-1)(2x-1)(x-a)

Quels est la valeur de a pour finir ma demonstration ?

on factorise par (x-0)(x-1/2)(x-1)= ie il existe un polynome h tel que
où

[emdro]

f(x)=x(x-1)(2x-1)(x-a)

Je ne résiste pas à répondre!

Non pour ton x-a.

Quel est le degré de f?

[emdro]

Tu es là? :cry:

[vioup]

g(x)=h(x)/2 ??
jorai crus un autre resultat !
j'ai commencé a rediger le probleme , j'ai montrer que o , 1 et 1/2 sont des racines du polynome et que f(0) =f(1)=f(1/2)=0
aprés je ne comprend pas comment cela peut nous permettre de dire que g(x)=h(x)/2

pfiouu c'est incroyable de ne rien comprendre a ce point :triste:

[vioup]

je viens de lire mon cour et il dit :
"un polynome P(x) est factorisable par (x-a) si et seulement si P(a)= 0"

j'en conclu que que f(x) est factorisable par (x-1) car F(1)=0
ainsi on a : f(x)=x(x-1)(2x-1)(x-1)
non ??

[emdro]

NON!

Je reposte: quel est le degré de f?

[vioup]

bah je diré 2n+1mais je n'en sait rien en fait lol