Polynôme : Factorisation par x-a

[Sofou]

Bonjour.
Je dois, dans mon exercice, démontrer le théorème de la factorisation par x-a.

Voilà l'énoncé. Je remplace alpha par @ (je n'ai pas le symbole).

P est un polynôme quelconque de degré 2 :
P(x) = ax²+bx+c et P(@) = 0

Vérifiez que :
P(x) = P(x)-P(@) = a(x²-@²)+b(x-@)

Déduisez-en que P(x) se factorise sous la forme, en précisant Q(x) :
P(x) = (x-@)Q(x)


****

J'ai essayé de le démontrer mais je suis absolument pas sûre de ce que j'ai fait.

Alors voila mon résonnement :

P(x) = P(x)-P(@) = ax²+bx+c-a@²-b@²-c
= a(x²-@²)+b(x-@)

D'après le théorème, si P(@)=0, on peut trouver un polynôme Q tel que, pour tout réel x, P(x)=(x-@)Q(x)

Donc P(x) = (x-@)Q(x)

et pour préciser Q(x) j'ai fait :
Q(x) = P(x)/(x-@)
Q(x) = [a(x²-@²)+b(x-@)]/(x-@)

Merci.

[chan79]

P(x) = P(x)-P(@) = ax²+bx+c-a@²-b@²-c
= a(x²-@²)+b(x-@)

=a(x-@)(x+@]+b(x-@)
il reste à factoriser (x-@)

[Sofou]

Ah merci beaucoup.

Par contre il y a une seconde partie dans l'exercice que j'ai pas compris. C'est avec les polynômes de degré 3. (le 3, ca signifie au cube)

Vérifiez que x3-@3 = (x-@)(x²+@x+@²)

Bon ca j'ai développé et ça a donné x3-@3 mais y a une autre question c'est :

Déduisez-en que si un polynôme P de degré 3 est tel que P(@)=0, il se factorise sous la forme (x-@)Q(x). Précisez Q(x).

[oscar]

Bonjour

Soit P(x) = ax³ +bx² + cx +d à diviser par (x-@)

P(x) -P(@)= a( x³ - @³) + b'(x² - @²) +c( x-@)
=( x-@) [a(x² +@x+b²)+b(x+@) +c]
............................Q(x)

..

[chan79]

P(x) = ax³ +bx² + cx +d

Si P(@)=0 alors a@³+b@²+c@+d=0
donc P(x)=ax³+bx²+cx+d-(a@³+b@²+c@+d)
P(x)=a(x³-a³)+b(x²-@²)+c(x-@)
on voit qu'on peut bien mettre (x-@) en facteur