Polynôme entier...

[Ben314]

Salut,
Suite à la discution "récurrence" çi dessous, une petite question s'impose (niveau Lycée) :

Si on pose par exemple où désigne les coefficients binomiaux alors clairement, est un polynôme en et, pour tout , est un entier.

Mais qu'en est il de la réciproque : Si est un polynôme à coefficients réels tel que, pour tout , est un entier, peut on forcément écrire comme une somme de avec et ?
Si oui, cette écriture est-elle unique ?

[ffpower]

Ca me dit quelque chose..Tu n'aurais pas déja posé cet exo il y a quelques temps? Sinon, précisons quand même que tu gardes la définition même si n est plus petit que p ( d'habitude dans ce cas on pose , donc ça pourrait en déstabiliser certains^^ )

[Ben314]

Ca me dit quelque chose..Tu n'aurais pas déja posé cet exo il y a quelques temps?

C'est fort possible. Vu mon age avancé, ça serait pas trop surprenant que je commence à radotter...

[Nightmare]

Salut,

J'obtiens quelque chose d'assez convaincant en étudiant la dérivée discrète (et ses itérées) d'un tel polynôme. J'en dis pas plus pour le moment.

Ben > As-tu une explication du phénomène en terme d'algèbre commutative?

[Ben314]

Ben > As-tu une explication du phénomène en terme d'algèbre commutative?

Non...
Donc autre question (niveau supérieur) : Soit A un anneau commutatif unitaire intègre (principal voire euclidien... si besoin est) et K son corps des fractions.
On considère l'ensemble M des éléments P de K[X] tels que, pour tout a de A, P(a) soit dans A.
M est-il forcément un A-Module libre ? Si oui, en donner une base.

(Bien entendu, je n'ais pas la réponse...)

[Nightmare]

Salut Ben > J'ai pas eu trop de le temps d'y réfléchir mais j'ai quand même bien l'impression que c'est vrai...

[Doraki]

En caractéristique 0, ça doit pas être bien différent.

En caractéristique p, c'est un peu plus rigolo
Par exemple si A = Fp[X],
Si on note Qn(Y) = le produit pour P dans Fp^n[X] des (Y-P(X)),

une base des polynômes "entiers" de Fp(X)[Y] commence avec :
1, Y, Y², Y^3, ..., Y^(p-1),

quand on arrive au degré p, il y a un meilleur polynôme que Y^p, Q0(Y)/Q0(X),

Puis on continue de multiplier par Y, jusqu'au degré p², où on passe à Q1(Y)/Q1(X²), et ainsi de suite...

Le truc un peu dur est de montrer que le polynôme Qn(Y)/Qn(X^(n+1)) de Fp(X)[Y] représente bien une application de Fp[X] dans Fp[X].

[Ben314]

J'ai pas trop fait de calculs (ni regardé complet ton truc avec Fp[X]), mais pour la caractéristique 0, c'est pas toujours "exactement pareil" :
par exemple P(X)=X(X-1)/2 va bien de Z dans Z, mais il ne va pas de Z[i] dans Z[i]...

[Doraki]

Ah oui l'idéal (2) devient (1+i), il faut changer le dénominateur...

On devrait avoir aussi
X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4) / (1+2i)
X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4) / (1-2i)

Ca m'a pas l'air très libre, tout ça...

[Doraki]

Marrant, il faut regarder comment se ramifient les idéaux premiers.

pour p = 2, X(X-1)/(1+i) convient à la place
pour p = 3, le corps résiduel est F9,
il faut prendre X(X-1)(X-2)(X-i)(X-i-1)(X-i-2)(X-2i)(X-2i-1)(X-2i-2)/3.
pour p = 5, X(X-1)(X-2)(X-i)(X-i-1) / (2+i) et son conjugué conviennent.
(eux, il me semble qu'ils cassent la liberté de M comme Z[i]-module)
...

[benekire2]

Salut !

J'ai cherché un peu tout seul et j'ai vraiment rien trouvé , les deux seuls trucs qui me viennent à l'esprit, c'est - avec l'indic de nightmare- de regarder les dérivées itérés de ce polynôme parce qu'on fait apparaitre progressivement des factorielles. La deuxième idée c'est raisonner par récurrence double ...

Je pourrait avoir un peu plus d'aide please ?

Merci :id:

[Ben314]

"L'indic" de Nightmare, c'est d'étudier les dérivée discrètes du polynôme P.
La dérivée "discrète" du polynôme P(X), c'est le polynôme Q(X)=P(X+1)-P(X).
Si P est de degrés d>0, a pour coeff. dominant lambda et prend des valeurs entières en tout point de N*, que peut on dire de Q ?

[benekire2]

Et bien Q(X) prend aussi des valeurs entières sur N* , mais c'est pas ça que tu attends :triste: ; est-ce qu'il faut développer Q et regrouper les termes de même degré par hasard ? [je suis entrain de le faire à la main ... ]
Je creuse tout ça sans trop savoir où je vais ... :we:

[Ben314]

Si P(X) est un polynôme de degré d>0, de coeff. dominant lambda et tel que P(n) soit dans Z pour tout n de N* alors
Q(X)=P(X+1)-P(X) est de degré ?, de coefficient dominant ? et il est effectivement tel que Q(n) soit dans Z pour tout n de N*.

Si tu recommence jusquà tomber sur un polynôme de degrés 0 (i.e une constante) tu en deduit que ... ce qui permet de voir que l'on peut diminuer le degré de P(X) en lui retranchant ... et cela termine la preuve (récurrence)

[benekire2]

Salut !

Et bien Q est de degré n-1 et de coefficient dominant n*lambda ainsi si on répète jusqu'à avoir une constante on va trouver que cette constante est n!*lambda


par contre je vois pas ce que l'on en déduit ?

A la rigueur cela donne soit avec x=0

Mais je vois rien d'autre ,

Merci à vous :we:

[Ben314]

Cela signifie que le polynôme constant (perso, je préfère appeler d le degrés de P vu que n, je m'en sert pour autre chose...) est tel que et tel que R(n) soit dans Z pour tout n de N*.
Dit plus simplement, ça te dit donc que est entier, c'est à dire que .
Et maintenant, qu'est ce qu'il se passe si on retranche à P :
Que pense tu de Q ?

P.S. Quand tu fait k fois une "dérivation discrète", ça ne donne absolument pas P(X+k)-P(X) vu que ce dernier est de degrés d-1 (où d=d°(P)) alors que chaque "dérivation discrète" doit faire diminuer le degrés de 1.
Par exemple, si on en fait 2 : Q(X)=P(X+1)-P(X) et R(X)=Q(X+1)-Q(X) et ben ça donne R(X)=P(X+2)-2P(X+1)+P(X).
Si ça t'amuse, vérifie que ce sont les coeff binomiaux avec des signes alternés qui apparaissent (mais ça ne sert à rien ici...) :
La "dérivée discrète" suivante est P(X+3)-3P(X+2)+3P(X+1)-P(X).
La suivante est P(X+4)-4P(X+3)+6P(X+2)-4P(X+1)+P(X).
etc...

[benekire2]

Pour la dérivation discrète c'est ce que j'ai fait ... sauf que je me suis embrouillé entre d et n , ce qui prouve que tu avais (encore) raison a prendre d et non n :zen:

Sinon, on peut dire que ce "nouveau" est de degré d-1 et l'hypothèse de récurrence nous permet de conclure.

Merci :++: