Polynôme de degré 3

[inconnudu17]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour ce DM:

Traineau du Père Noël au point A(0;5)
Il se pose horizontalement en haut d'une première cheminée dont le sommet est en B(2;1).
La trajectoire est une parabole
Trouvez a b c tel que si y=ax²+bx+c, la trajectoire du père noël suive la courbe représentative de f
---> j'ai trouvé a=1 ; b=-4 et c=5

Mais il doit aussi se rendre au sommet d'une deuxième cheminée située en C(4;3).
Les tangente à la trajectoire au départ (première cheminée) et à l'arrivé (deuxième cheminée) doivent être horizontales pour ne pas faire tomber les jouets.
La nouvelle trajectoire du père noël est une portion de courbe représentative d'une fonction g polynome de degré 3
Si g(x)= ax exposant3 + bx² + cx + d trouver a b c d

----->J'ai commencé ceci : La courbe représentative de G passe par le point A(0;5)
On a donc g(0)=5 soit a*0exposant3 + b*0²+ c*0 + d = 5 d=5

La courbe représentative de G passe par le point B(2;1)
On a donc g(2)=1 soit a*2 exposant3+b*2²+c*2+5=1 8a + 4b + 2c = - 4

La courbe représentative de G passe par le point C(4;3)
On a donc g(4)=3 soit a*4 exposant3 + b*4² +c*4 +5=3 64a + 16b + 4 c = -2

Et là je bloque. Je pense que je devrai trouver un système mais je ne vois pas comment.

En espèrant obtenir une aide rapide. Merci d'avance.

[Carpate]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour ce DM:

Traineau du Père Noël au point A(0;5)
Il se pose horizontalement en haut d'une première cheminée dont le sommet est en B(2;1).
La trajectoire est une parabole
Trouvez a b c tel que si y=ax²+bx+c, la trajectoire du père noël suive la courbe représentative de f
---> j'ai trouvé a=1 ; b=-4 et c=5

Mais il doit aussi se rendre au sommet d'une deuxième cheminée située en C(4;3).
Les tangente à la trajectoire au départ (première cheminée) et à l'arrivé (deuxième cheminée) doivent être horizontales pour ne pas faire tomber les jouets.
La nouvelle trajectoire du père noël est une portion de courbe représentative d'une fonction g polynome de degré 3
Si g(x)= ax exposant3 + bx² + cx + d trouver a b c d

----->J'ai commencé ceci : La courbe représentative de G passe par le point A(0;5)
On a donc g(0)=5 soit a*0exposant3 + b*0²+ c*0 + d = 5 d=5

La courbe représentative de G passe par le point B(2;1)
On a donc g(2)=1 soit a*2 exposant3+b*2²+c*2+5=1 8a + 4b + 2c = - 4

La courbe représentative de G passe par le point C(4;3)
On a donc g(4)=3 soit a*4 exposant3 + b*4² +c*4 +5=3 64a + 16b + 4 c = -2

Et là je bloque. Je pense que je devrai trouver un système mais je ne vois pas comment.

En espèrant obtenir une aide rapide. Merci d'avance.

Il y a 4 coefficients à déterminer. Il faut donc 4 relations entre a,b,c,d

Ta première relation est incorrecte : g(0) = 5, il ne part pas du point A mais du point B (première cheminée)
départ de B :
arrivée en C :
mais tu n'as pas exploité les 2 autres données :
"Les tangente à la trajectoire au départ (première cheminée) et à l'arrivée (deuxième cheminée) doivent être horizontales"
Par quelles relations cela se traduit ?

[inconnudu17]

Ah d'accord..
Donc alors on a:
g(xb)= yb donc g(2)=1
g(xc)= yc donc g(4)=3

et après si les tangentes sont horizontales c'est qu'il y a deux extrenum local en B et C je croit et donc x= -b/2a dans les deux cas?

[Carpate]

Ah d'accord..
Donc alors on a:
g(xb)= yb donc g(2)=1
g(xc)= yc donc g(4)=3

et après si les tangentes sont horizontales c'est qu'il y a deux extrenum local en B et C je croit et donc x= -b/2a dans les deux cas?

Non tangente horizontale en un point signifie coefficient directeur de la tangente nul c'est-à-dire dérivée de la fonction nulle en ce point

[inconnudu17]

donc g(x)=ax^3 +bx² + cx + d
et g'(x) = 3ax² +2bx + c

donc pour B : g'(2)=0 soit 3a* 2² + 2b*2 + c = 0 <=> 12a+4b+c=0
et pour C : g'(4)= 0 soit 3a*4² + 2b*4 + c=0 <=> 48a+8b+c=0

Donc pour le système les 4 relations sont:

8a+4b+2c+d=1
64a+16b+4c+d=3
12a+4b+c=0
48a + 8b+c=0
C'est correct?

[inconnudu17]

J'ai fait ce système à la calculatrice ce qui donne: a= -0.5 ; b=4.5 ; c= -12 et d=11 ce qui semble correct graphiquement. Merci beaucoup de votre aide.

[Carpate]

donc g(x)=ax^3 +bx² + cx + d
et g'(x) = 3ax² +2bx + c

donc pour B : g'(2)=0 soit 3a* 2² + 2b*2 + c = 0 12a+4b+c=0
et pour C : g'(4)= 0 soit 3a*4² + 2b*4 + c=0 48a+8b+c=0

Donc pour le système les 4 relations sont:

(1): 8a+4b+2c+d=1
(2): 64a+16b+4c+d=3
(3): 12a+4b+c=0
(4): 48a + 8b+c=0
C'est correct?

C'est exact.
Ensuite :
(2) -(1) : 56a+12b +2c = 2 : on a éliminé d
soit :
(1'): 28 a+6b+c = 1 :
(3): 12a+4b+c=0
(4): 48a + 8b+c=0

(1') -(3) : 16a +2b = 1
(4)-(3) : 36a +6b = 0 soit 6a +b = 0, b = -6a : on a éliminé c
on porte b dans 16a +2b=1 :
puis b = ..., c=..., d=...
Mes calculs sont à vérifier

[inconnudu17]

ça doit être ça sauf que (4)-(3) : 36a + 4b =0

[Carpate]

ça doit être ça sauf que (4)-(3) : 36a + 4b =0

C'est pour ça que tua dois refaire tous ces calculs et conclure
A +