Le plus grand cornet ?

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 10:07

Bonjour a tous
j'ai un probleme sur un exo que je n'arrive pas a résoudre, si quelqu'un pouvais me filer un coup de main.
Merci d'avance pour votre aide ! bonne fin de vacances

1/ Le probleme
Dans un disque de rayon R, on découpe un secteur circulaire de "alpha" radian.
En joignant les deux bords droits du secteur restant, on fabrique un cornet en forme de cône.
Pour quelle valeur de "alpha" le volume du cornet est-il maximal ?

2/ Indications de résolution
On note r le rayon de base du cône, h sa hauteur et V(h) son volume.
a/ exprimer V(h) en fonction de R et h, et déterminer h pour que V(h) soit maximal.
b/ pour cette valeur de h, exprimer r en fonction de R, puis calculer "alpha".

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 10:09

2)a/ exprimer V(h) en fonction de R et h, et déterminer h pour que V(h) soit maximal.

V(h) = 1/3*B*h
V(h) = 1/3*pi*r²*h
r est le rayon du cône et h sa hauteur, R est l'hypoténuse du triangle formé par le rayon, la hauteur et le coté du cône (qui n'est autre que le rayon du disque d'origine.) d'ou :
R² = h² + r²
r² = R²-h²
V(h) = 1/3 * h * (R²-h²)

C'est ok ? :hein:

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 11:27

C'est ok pour la début de la 2)a)?
par contre je ne vois pas comment déterminer h pour que v(h) soit maximal.

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 11:56

C'est ok pour la début de la 2)a)?
par contre je ne vois pas comment déterminer h pour que v(h) soit maximal.

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 12:34

je suis désolé je dois y aller mais si quelqu'un a quelque chose a me proposer ou un conseil pour cet exo il est le bienvenu !

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 17:00

euh quelqu'un pourrait m'aider je n'y arrives toujours pas !
:cry:

par **Quidam** » 07 Jan 2007, 18:58

haricot29 a écrit:Bonjour a tous
j'ai un probleme sur un exo que je n'arrive pas a résoudre, si quelqu'un pouvais me filer un coup de main.
Merci d'avance pour votre aide ! bonne fin de vacances

1/ Le probleme
Dans un disque de rayon R, on découpe un secteur circulaire de "alpha" radian.
En joignant les deux bords droits du secteur restant, on fabrique un cornet en forme de cône.
Pour quelle valeur de "alpha" le volume du cornet est-il maximal ?

2/ Indications de résolution
On note r le rayon de base du cône, h sa hauteur et V(h) son volume.
a/ exprimer V(h) en fonction de R et h, et déterminer h pour que V(h) soit maximal.
b/ pour cette valeur de h, exprimer r en fonction de R, puis calculer "alpha".

La hauteur h du cône est telle que h²+r²=R². Donc

Le rayon r est tel que

Donc

Et le volume du cône est

T'as plus qu'à dériver pour trouver la valeur de r optimale, ensuite, tu calculera

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 19:10

ok donc V(h) = 1/3*pi*[((2pi-alpha)/(2pi))*R]²*rac(R²-r²)
tu me dis de dérivé V(h) pour trouver r optimal mais moi je cherche h maximal ?! Il y a un rapport ?! :hein:

par **Quidam** » 07 Jan 2007, 19:42

haricot29 a écrit:ok donc V(h) = 1/3*pi*[(2pi-alpha)/(2pi)]*R*rac(R²-r²)
tu me dis de dérivé V(h) pour trouver r optimal mais moi je cherche h maximal ?! Il y a un rapport ?! :hein:

Tu cherches le maximum de V. Si V est exprimé en fonction de r tu cherches le r optimal qui va maximiser V,...et tu en déduis h. Si V est exprimé en fonction de h tu cherches le h optimal qui va maximiser V,...et tu en déduis r.
C'est du pareil au même ! Mais laisse tomber

pour le moment ! Tu le calculeras en foncrion de r plus tard !

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 19:48

ok donc la je chercher la dérivée de V mais tout les termes de V sont constants ? comment les dérivés ? :id:

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 20:14

Quelq'un pourrait m'aider pour cette dérivée comme ça je peux finir mon exercice ce soir ! Merci a tous et puis bonne rentrée ( malheureusment) :we:

par **simplet** » 07 Jan 2007, 20:43

h dépend de r ...

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 21:07

oui je sais que h dépend de r sauf que je n'arrive pas à trouver la dérivée de V !

par **haricot29** » 07 Jan 2007, 21:34

Svp personne n'a une petite idée ?! :hein: :id:

par **Quidam** » 08 Jan 2007, 10:41

haricot29 a écrit:Svp personne n'a une petite idée ?! :hein: :id:

V est le produit d'une constante

, d'une fonction de r

et d'une autre fonction de r

!
C'est quoi la dérivée de C.u(r).v(r) ?

par **haricot29** » 13 Jan 2007, 17:22

ok alr :
C = 1/3
C' = 0

u(r) = r²
u'(r) = 2r

v(r) = rac ( R²-r²)
v'(r) = 1/2rac ( R²-r²)

C'est ça ?! :id:

V'(h) = 2r *1/2rac ( R²-r²) = 2r

par **Quidam** » 13 Jan 2007, 18:10

Tu n'y es pas encore !

haricot29 a écrit:C = 1/3
C' = 0

Oui ! Ca, c'est ma faute ; en fait

(je viens de corriger mon post précédent). Mais cela ne change rien à la dérivée, qui est bien sûr nulle. Donc c'est vrai que C'=0 !

haricot29 a écrit:u(r) = r²
u'(r) = 2r

Oui, c'est correct !

haricot29 a écrit:v(r) = rac ( R²-r²)
v'(r) = 1/2rac ( R²-r²)

Non ! Ca c'est faux ! La dérivée de

est

. La dérivée de

est donc :

, soit

, puisque la dérivée de

est

haricot29 a écrit:V'(h) = 2r *1/2rac ( R²-r²) = 2r

Au signe près, "2r *1/2rac ( R²-r²)" est presque la dérivée de v(h), certainement pas celle de V(h)=C*u(h)*v(h)
En effet, la dérivée de u(h)*v(h) est u'(h)v(h)+u(h)v'(h) et par conséquent, la dérivée de V=Cu(h)*v(h) est V'(h)=C[u'(h)v(h)+u(h)v'(h)] !

En outre ta simplification "2r *1/2rac ( R²-r²) = 2r" est fausse ! "2r *1/2rac ( R²-r²)" n'est pas non plus égal à "2r" !

Courage !

par **haricot29** » 13 Jan 2007, 18:21

V'(h) = 1/3pi ( 2r*rac(R²-r²) + r²* (-r/rac(R²-r²))

il faut simplifier ?

par **haricot29** » 13 Jan 2007, 19:00

y a quelqu'un pour me filer un dernier coup de pouce !

par **Quidam** » 14 Jan 2007, 01:22

haricot29 a écrit:V'(h) = 1/3pi ( 2r*rac(R²-r²) + r²* (-r/rac(R²-r²))

il faut simplifier ?

Oui, il faut simplifier ! Sinon, comment feras-tu pour savoir quand cette dérivée s'annulle ?

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