Le plus grand cylindre possible

[Antoinel]

Bonjour à tous,voila j'ai des exercices de Math à faire ,je les ai réussi sauf 2 qui me posent beaucoup de problémes :mur: .Si quelqu'un pourrait m'aider.Merci d'avance.


On dispose d'une feuille rectangulaire de dimensions x cm et y cm ,x et y étant deux réels de l'intervalle [0;30].
Le périmétre de cette feuille est fixe et égal à 60 cm.A l'aide de ce rectangle ,on fabrique un cylindre de hauteur x et de rayon de base R.On cherche à fabriquer le cylindre dont le volume est maximale.


1: Exprimer le rayon R en fonction de y,puis de x
2:En déduire le volume V (x) du cylindre en fonction de x
3:Vérifier que x(30-x)²-4000=(x-40)(x-10)²
4:Etudier le signe de V(x)-V(10)
5:En déduire les dimensions de la feuille rectangulaire pour obtenir un cylindre dont le volume est maximal.


Exercice n°2

Une entreprise qui fabrique des vases fait un étude sur une production x comprise entre 5 et 50 vases.Le cout de production,en euros,de x objets fabriqués est donné par C(x)=x²+30x+400.

1.Calculer le cout moyen unitaire pour 16 vases fabriqués.
2.Soit f(x) le cout moyen unitaire pour x vases fabriqués.Exprimer f(x) en fonction de x
3.Demontrer que f est strictement croissante sur ]20;50]
4.Donner le sens de variation de f sur [5;20[ et dresser le tableau de variation de f

5.Déterminer le nombre de vases que doit fabriquer l'entreprise pour que le cout unitaire moyen soit minimal.Quel est alors ce cout?
6.Vérifier que x²-50x+400=(x-10)(x-40)

[Daragon geoffrey]

slt j'te donne quelques pistes pour le premier :
x est la longueur et y la largeur alor : 2pi*r=y équiv à r=y/2pi, or d'après l'énoncé, P=60 équiv à 2(y+x)=60 ou encore y=(30-x), doù r=(30-x)/2pi de plus on a : V=pir^2*x, où x est la hauteur, donc en fct de x on obtient V=[x(30-x)^2]/4pi, on associe alor à cette expression la fct f(x) définie par x : (x(30-x)^2)/4pi dont tu étudies les variations pour en trouver les extrema et donc la valeur de x (de laquelle tu déduis celle de y) pour laquelle le volume est maximal !

[Daragon geoffrey]

pour la deuxieme partie : 1: calcule l'image de 16 par C,
2 : par définition f(x)=C(x)/x
3 et 4 j'tee laisse faire
enfin, 5 : lesture du tableau de variation, avec un minimum pour une certaine valeur de x qui correspond ossi o nombre de vases total ... j'te laisse continuer, puis pour la dernière il y a plusieurs méthodes dont l'une d'elle est de chercher les racines du polynôme en x de degré 2 puis de factoriser pour obtemir l'expression demandée !

[Antoinel]

Merci beaucoup c'est vraiment sympa,ça m'aide bien. :id:

[Antoinel]

Par contre je n'arrive pas faire le 3 et 4 de l'exercie 1 et le 6 de l'exercice 2.merci d'avance .

[Daragon geoffrey]

slt
pour la 3 du 1 : développes l'expression de drpite et tu es censé retombée sur celle du membre de gauche !
pour la 4 : je sui pose qu'aprè avoir dériver la fct associée o volume du cylindre en fct de x, tu trouves qu'elle admet un maximum pour x=10 !? tu étudies alors le signe de V(x)-V(10), et tu dois trouver que cette différence est négative pour tt x de l'intervalle, de là ensuite tu conclus que V admet un maximum pour x=10 à partir duquel tu déduis ossi les dimensions de la feuille rectangulaire à l'aide des relations établies précédemment !

[Daragon geoffrey]

pour la 6 du 2 : tu cherches les racines du trinome x^2 -50x + 400 =0, puis tu factorises comme te l'indique un théorème du cour pour obtenir l'expresion du membre de droite ! @ +

[Antoinel]

ok merci @+