Donc voici, l'exo :
On considère un polyèdre ABCDEF obtenu en coupant un tétraèdre régulier SABC par le plan passant par les milieux des arêtes issues du sommet S. (figure post précédent).
Soit I, J et K les points suivant :
- I est sur l'arête [DE] et DI = 2/3 DE
- J est sur l'arête [BE] et BJ = 2/3 BE
- K est sur l'arête [BC] et BK = 1/3 BC
1 ° : Donner une construction géométrique des points L et M.
2 ° : On note P le point d'intersection des droites (JK) et (IM).
Précisez la nature du quadrilatère KLMP et la position des points I et J sur les côtés de ce quadrilatère.
3 ° : On note Q le point d'intersection des droites (KI) et (LM).
Démontrer que le triangle KLQ est isocèle en Q et que QL=BC.
4 ° : Réprésenter le pentagone IJKLM en vraie grandeur dans le cas où BC = 6 cm.
Données supplémentaires par le prof :
Pour la 2e question, pour prouver que KLMP est un #, on doit utiliser le théorème concernant les plan // coupés par un plan sécant, et le théorème du toit ( où (JK) // (ER'), avec R' le milieu de [BC], puis (JK) // (FC)).
Ou une variante, Dq que BJK est équilatéral, et utiliser les angles.
Pour trouver la position de I et J, on admet que I est le milieu de [PM].
Et faut trouver que J est 1/3 fr [PK], en utilisant Thalès dans les triangles PEJ et JKB, l'espèce que poisson.
Pour la 3e question, il faut dq que QL= BC = a (arrête du tétraèdre)
--> prouver que ML = FC et que M est le milieu de [QL] (théorème élémentaire).
--> prouver que QK = BC = a.
Calculer IK + utiliser le fait que I est le milieu de [QK]
Pour cela, projeter I sur ABC pour faire une vue d'en haut.
On a alors I'K = OR' ( O centre de gravité)
h = a3/2 = a cos 30°
et admettre que II' = 1/2 SO, calculer SO.
J'ai fait la 1 :
D'abord on rejoint J et K qui sont dans le même plan, EFCB et J et I qui sont dans le même plan, EDAB. Puis on prolonge (KJ) et (FE), qui se coupent en P. Comme P appartient au plan EDAB (prolongement de la droite (EF) qui elle-même appartient au plan EDAB), on trace la droite partant de P et passant par I, qui coupe (DF) en M.
On prolonge (JI) et (AD), qui se coupe en N. Comme N appartient au plan ENM, on trace la droite partant de N et passant par M, qui coupe (AC) en L.
On peut alors tracer (IM) qui est dans le même plan, EDF; (ML) qui dans le même plan, DACF et (KL) dans le même plan, ABC.
Mais le reste je bloque :/
par