TS pgcd

[Anonyme]

bonjour, je n'arrive pas à répondre à cette question :

montrer que pgcd(n+3;2n+1) divise pgcd(n²+3n;2n+1)

je sais déjà que :

pgcd(n;2n+1) = 1

pgcd(n+3;2n+1) vaut 1 si n-2 n'est pas multiple de 5
ou vaut 5 si n-2 est multiple de 5


et ça, mais je pense pas que ça serve :

(n-1)(n²+3n) = n^3+2n²-3n

(n-1)(2n+1) = 2n²-n-1


pourriez-vous m'aider ?

merci beaucoup

[becirj]

Soit d le PGCD de (n+3) et de (2n+1).
d divise et divise 2n+1
Etant donné que tout diviseur commun à 2 nombres est un diviseur de leur PGCD, on en déduit que le PGCD(n+3,2n+1) divise le PGCD

[Anonyme]

merci beaucoup bercirj

mais (car il y a un mais) après il faut que je montre que pgcd(n+3;2n+1) = pgcd[n(n+3);2n+1]

et la je pense qu'il faudrait que je montre que pgcd[n(n+3);2n+1] divise pgcd(n+3;2n+1), mais je ne vois pas comment faire

pourriez-vous m'aider encore une fois ? et après, j'en aurai enfin fini avec cet exercice !!

merci beaucoup (très beaucoup même)

[becirj]

donc d'après le théorème de Bézout, n et 2n+1 sont premiers entre eux.
Le PGCD de 2n+1 et n(n+3) divise 2n+1 et n(n+3), comme il divise 2n+1, il est premier avec n et par conséquent puisqu'il divise le produit n(n+3), il divise n+3, c'est donc aussi le PGCD de 2n+1 et n+3

[Anonyme]

ah ! merci beaucoup !