Pgcd

[unclerem]

Bonsoir, j'aurai besoin de votre aide pour un exercice de spé maths:


[FONT=Comic Sans MS]Soit n un entier naturel non nul.
Soit a=11n+3 et b=13n-1

1) Démontrer que tout diviseur de a et de b est un diviseur de 50.
En déduire que PGCD(a,b) = PGCD(a,50)
2) Résoudre 50x-11y=3. En déduire les valeurs de n pour lesquelles a et b ont 50 pour PGCD.
3) Pour quelles valeurs de n les nombres a et b ont-ils 25 pour PGCD?[/FONT]



Je bloque à partir de la deuxième question. J'ai réussi à résoudre l'équation, je trouve
x=11k+6
y=50k+27

Seulement je ne vois pas comment trouver les valeurs de n...
Je vois bien que si n=y, 50x=11n+3=a
Mais de là je ne sais pas quoi faire.

Ensuite je ne vois pas non plus comment résoudre la question 3.

Merci d'avance!

[Florélianne]

[font=Comic Sans MS]Bonjour,
Soit n un entier naturel non nul.
Soit a=11n+3 et b=13n-1
1) Démontrer que tout diviseur de a et de b est un diviseur de 50.
[/font][font=Comic Sans MS][font=Arial]Si d est un diviseur de a et de b,
alors d est aussi un diviseur de 3b
alors d est aussi un diviseur de a+3b
calcule a+3b...
tu sais que ton résultat est vrai pour tout nombre entier n non nul
donc vrai pour n = 1
conclue
[/font][/font][font=Comic Sans MS]En déduire que PGCD(a,b) = PGCD(a,50)[/font]
[font=Arial]tu as vu que si d divisait a et b alors il était diviseur de 50
donc pgcd(a;b) divise 50
comme pgcd(a,b) divise a
pgcd(a ; b) divise pgcd(a ; 50)
le pgcd ( a; 50) divise 50
donc il divise a+3b , comme il divise a, il divise 3b
3 et 50 sont étrangers (ou premiers entre eux) donc...
donc pgcd(a;50) divise a et divise...
donc pgcd(a;b) divise pgcd...
donc ...

[/font][font=Comic Sans MS]2) Résoudre 50x-11y=3. En déduire les valeurs de n pour lesquelles a et b ont 50 pour PGCD.[/font]
[font=Arial]Si nous trouvons une solution de cette équation, comment en déduire les autres ?
soit (u;v) une solution de cette équation
on a 50u - 11v = 3 et pour toute autre solution (x;y)
on a 50x - 11y = 3 donc
50x - 11y = 50u - 11v
-11y = 50u -11v - 50x ou 11y = 50x - 50u + 11v
donc 11y = 50(x-u) + 11v

maintenant cherchons une solution de cette équation 50x - 11y= 3
ça nous donne : 50x = 11y+3
ça revient à chercher les solutions de l'équation
50x = 3 [mod 11]...
il n'y a que 11 réponses si tu n'as pas fait les congruences pas de soucis
écris 50x = 11x +3
puis essaie avec x = 1, puis x=2 ... x=11 et retiens les couples solutions
tu auras alors trouvé toutes les possibilités!

[/font][font=Comic Sans MS]Bon travail[/font]